funciones

Funciones elementales
Def.Sean A, B conjuntos no vacios cualesquieras.
Llamaremos función de A en B a toda ley o
regla que asigna a cada elemento de A un
único elemento de B.

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Convenios y Notaciones:
 Para denotar una función se utilizan, usualmente, letras del
alfabeto tales como: f , g, h ,...., aún cuando puede usarse
cualquier símbolo.
 Para indicar que f es una función de Aen B se escribe

f : AB.
 Para indicar que a un elemento x de A la función f le asocia
un único elemento y de B escribimos xyf( x ) o

simplemente

yf( x )
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 Al conjunto A se denomina dominio de f y se denota con

Dom( f ).
Al conjunto B se denomina codominio de f y se denota con
Codom( f ) .
 Al conjunto de valores y en B para los cuales existe un x en
A talque yf( x ) se denomina recorrido (o Imagen) de f
y se denota con Rec( f ) ( o Im( f ) ) .
Es decir:
Rec( f ){ f( x ), x  A }
En general:

Rec( f ) es un subconjunto de Codom( f )

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 Toda función f : AB se dice que es una función real si A ,
B son subconjunto IR.
 Cuando una función real f se define mediante una ecuación

del tipo y = f (x) se conviene en que Dom(f) esel conjunto
de todos los x en IR tal que f(x)  IR .

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Ejemplos
Ejemplo1

Una función constante f( x )k tiene como dominio todo R y su imangen
es un único punto k.
Ejemplo2

Para la función f( x )x21 el dominio es todo IR y la imagen es el
intervalo [1,).

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Ejemplo3
Consideremos la función real f definida por la ecuación
x1
f( x )
.
2 x4

Se tieneque:

x1
 IR } = [1,  [ - { 2 }
 Dom f = { x  IR /
( )
2 x4
 Calculando algunos valores de f(x) se tiene
1
3
2
f( 5 )
,
f( 10 )
,
f( 17 )
3
16
15
 Esta función la podemos definir f : AIR, con A = [1,  [ - {2},
x1
.
donde f( x )
2 x4

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Ejemplo4
Además de evaluar las funciones con números específicos, también es
importante poder evaluarfunciones en expresiones que impliquen una o
más variables.
Así, si f( x )3 x24 encuentre y simplifique:
f( xh )f( x )
i) f( xh )
ii)
h
Ejemplo5
5x
Para la función definida por f( x )
, encuentre Dom(f) y Rec(f).
x2
Respuesta.5x
} ,
Rec( f ) = { x / 0x }
Dom( f ) { x / 0
x2

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Ejercicios
Define las siguientes funciones y determina sudominio e
imagen.
a) f( x )

1
x22 x1

b) f( x ) x21

4x2
c) f( x )
x

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Representación Gráfica de una función
Def.- Al conjunto de todos los pares ( x, y ) tales que yf( x )
para algún x  Dom( f ) se llama gráfica de la función f.
 La gráfica de f se representa en un sistema coordenado como
la curva formada por los puntos de la forma (x, f( x )).
Mirando la gráfica de una función se pueden identificar su

dominio e imagen.

 Si xa es un punto del dominio, la recta vertical trazada en

xa corta la gráfica en un único punto.

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 No toda curva corresponde a la gráfica de una función.
Para determinar si una curva corresponde a la gráfica de una función es
útil el test de la linea vertical:
" Si cualquier linea vertical queintersecta a la gráfica lo hace en más
de un punto entonces la curva no es la gráfica de unafunción"
 Diremos que la gráfica de una función es continua si no se interrumpe en
toda su extensión
 Se dice que la gráfica de una función f es simétrica con respecto al eje
OY si: f( x )f( x )
 Se dice que la gráfica de una función f es simétrica con respecto al
origen si: f( x )f( x )10

Ejemplo 1

Dada la gráfica siguiente decida si esta corresponde o no a la de una
función f. En caso afirmativo encuentre el dominio y el recorrido de f

Respuesta.Dom( f ) = [-1 , 8 ] ,

Rec( f ) = [ -50 , 60 ]
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Ejemplo2

Determine el dominio y el recorrido de la función f tal que
f( x )

1
2

x 2 x1

, trace su gráfica.

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13

Ejemplo 5 (...