Funciones

Cálculo I

E.A.G.

Formas de Expresar una Función.

Forma Explicita. Se define así la forma común de expresar una función cuando la variable
dependiente esta despejada.

F = {(x, y ) / y = f ( x) , x ∈ R}

y = ln (x + 1)

y = x2 − 1
y = Sen(2 x + 4 )

y = e2 x + 3

Forma Implícita. Se define así cuando la variable dependiente no esta despejada en algunos
casos es posibletransformar a la forma explicita realizando operaciones.

F = {( x, y ) / f ( x, y ) = 0 ; ( x, y ) ∈ IR}
1.

x3 + y 2 =

x
y

Sen(x + y ) + e x + y = ln x
x

2.

3

x 2 + y 2 = e y arcSen

x
y

1

Cálculo I

E.A.G.

Dominio e imagen de una función.-

y

y = f(x)

y=d

I
M
A
G
E
N

y=c

DOMINIO
x=a

x=b

x

DOMINIO : Se define como el conjunto denúmeros reales formado por la variables x se
denota :

D f = [a; b ]
IMAGEN . Es el conjunto de números reales formados por la variable dependiente y se
denota:

I

f

= [a; b ]
2

Cálculo I

E.A.G.

DE LA GRAFICA DETERMINAR DOMIUNIO E IMAGEN

Para las siguientes funciones determinar dominio e imagen

y
3

2

1

-4

-3

-2

1

-1

2

4

5

x

-1

-2-3

3

Cálculo I

1.

Para la siguiente función

a)

f (6 )

E.A.G.

y = f ( x ) determinar:

b)

f (− 3)

c)

f (3)

d)

f (− 1)

e)

f (1)

f) En que intervalos es constante

g) Dominio

h) Imagen

4

Cálculo I

E.A.G.

Cálculo de Dominio Forma analítica. Para determinar el dominio de una función o relación se
debe considerar la forma de expresiónde la función:
Caso I. Si la función tiene una expresión polinomial o exponencial el dominio son todos los
números reales también se puede decir de menos infinito a mas infinito

1. f ( x ) = 3 x 3 − 5 x 2 + 6 x + 4

Df (− ∞,+∞ )

2. f ( x ) = e 2 x + 3e x + 5

Df (− ∞,+∞ )

Caso II. Si la función tiene una expresión racional de la forma

y=

f( x )
g( x )

para determinar eldominio se debe hacer el denominador diferente de cero esto quiere decir que la función del
denominador igualo a cero encuentro los valores de x los cuales se debe excluir del dominio.

1. f ( x ) =

x3 + 3x − 1
x2 − x − 6
x2 − x − 6 ≠ 0
(x − 3)(x + 2) ≠ 0
x−3≠ 0
x≠3

x+2≠0
x ≠ −2

Df (− ∞ ; − 2)  (− 2 ; 3)  (3 ; + ∞ )

5

Cálculo I
2. f ( x ) =

E.A.G.

x 2 − 3x + 1x3 − 4 x

x( x − 3)( x + 3) ≠ 0
x≠0

x ≠ +3

x ≠ −3

Df (− ∞ ; − 3)  (− 3 ; 0 )  (3 ; + ∞ )

3. f ( x ) =

x 2 ≠ −4

x
2
x +4

x≠± −4
x ≠ 2i

Df (− ∞ ; + ∞ )

Caso III. Si la función tiene una expresión irracional para determinar el dominio se debe
considerar si es raíz de índice par o raíz de índice impar.

a) Raíz de Índice Impar El dominio es todo los números realesexcepto si está en el
denominador se considera el caso II

Df (− ∞ ; + ∞ )

1. f ( x ) = 5 x 2 + x 2 + 3 x + 2

2. f ( x ) =

3

x
x+3

3

x+3 ≠ 0

;

x ≠ −3 ;

Df (− ∞ ; − 3)  (− 3 ; + ∞ )

b) Raíz de Índice Par.

1. y = x 2 − 9

; x2 − 9 ≥ 0

; ( x − 3)( x + 3) ≥ 0 resolviendo método ley de los signos

Df (− ∞ ; 3)  (3 ; + ∞ )

6

Cálculo I
2. y = 4E.A.G.
x−3
x+2

x−3
≥0
x+2

x ≠ −2

Df (− ∞ ; − 2)  (3 ; + ∞ )
Caso IV. Si la función tiene una expresión logarítmica entonces para determinar el dominio se
debe considerar los conceptos básicos del logaritmo como la bese y el argumento.

[]

y = log[g ( x ) ] f ( x )

;

f( x ) > 0 ; g( x ) ≠ 1 ; g( x ) > 0

1. y = log3 ( x − 4 )
x−4>0
x>4

Df (+ 4;+∞ )

(

2. y = log(16 x − x 2 ) x 2 − x − 2

)

DOMINIO I
x2 − x − 2 > 0
(x − 2)(x + 1) > 0
DOMINIO II
16 x 2 > 0 (− 1)
x 2 − 16 < 0
(x + 4)(x − 4) < 0
DOMINIO III
16 − x 2 ≠ 1
x 2 ≠ 15
x ≠ ± 15

7

Cálculo I

E.A.G.
Df = D1 ∩ D2 ∩ D3

(

)(

)(

) ( 15 ; 4)

Df − 4 ; − 15  − 15 ; − 1  − 2 ; 15 

Resumen. Para determinar el dominio de cualquier función se debe tomar en...