funciones

O.A.D. Facultad de Ingenier´a - 2014
ı

UNIVERSIDAD CATOLICA DE LA SANTISIMA CONCEPCION

Apunte de Algebra (Versi´n preliminar)
o
1. Funciones
[No publicar]
1.1.

´
Introduccion

En el cap´
ıtulo anterior estudiamos el producto cartesiano A × B entre los conjuntos A
y B, la idea ahora es poder definir entre ellos alg´n tipo de correspondencia o relaci´n.
u
o
Mas precisamente, setiene la siguiente definici´n:
o

ı
o
Definici´n 1.1. Dados dos conjuntos A y B, no vac´os, se define una relaci´n bio
naria R como una correspondencia entre los elementos de A y B; y que corresponde
al conjunto de pares ordenados R , con R ⊆ A × B.

Observaci´n: En general, una reo
laci´n puede ser un cojunto de pao
res, ternas, cuaternas, etc. Cuando
la relaci´n sea un conjunto de paores, se llama relaci´n binaria.
o

M´s precisamente, si (a, b) ∈ R diremos que a est´ relacionado con b y escribiremos
a
a
aRb, es decir:
aRb ⇐⇒ (a, b) ∈ R
Observaci´n: El par (b, a), a ∈
o
A, b ∈ B no pertenece a R, pues
se trata de pares ordenados y luego
(b, a) = (a, b) .

Ejemplos:
1. Si A = {−1, 0, 1} y B = {−1, 0, 1, 2}, entonces
R = {(x, y) ∈ A × B : x + y = 0}
es unarelaci´n. Donde se tiene que,
o
xRy ⇐⇒ x + y = 0
Luego R = {(−1, 1), (0, 0), (1, −1)}.
2. R = {(x, y) ∈

×

: y = x2 } corresponde a una relaci´n, observando que,
o
xRy ⇐⇒ (x, y) ∈ R ⇐⇒ y = x2

Observemos que R = {(0, 0), (−1, 1), (1, 1), (−2, 4), (2, 4), . . .}.
3. R = {(x, y) ∈

Æ × Æ : y ≤ x} corresponde a una relaci´n, observando que,
o
xRy ⇐⇒ (x, y) ∈ R ⇐⇒ y ≤ x

Definici´n 1.2.Dada una relaci´n R, se define:
o
o
El dominio de R como:

Dom(R) = {x ∈ A : ∃y ∈ B ∧ (x, y) ∈ R}

El recorrido de R como:

Rec(R) = {y ∈ B : ∃x ∈ A ∧ (x, y) ∈ R}

1

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Ejemplos:

Apunte de Algebra{(−1, 0), (−1, 2),on preliminar)
(Versi´ 3)}, entonces
1. Si consideramos la relaci´n R =
o(1,
[No publicar]
Dom(R) = {−1, 1}
Rec(R) = {0, 2, 3}

2. Para la relaci´n R = {(x, y) ∈
o

×

: y = x2 }, tenemos que

Dom(R) =
Rec(R) = {0, 1, 4, 9, . . .}
3. Para R definida, en

Ê × Ê, por
xRy ⇐⇒ |x| + |y| ≤ 1

se tiene que
Dom(R) = [−1, 1]
Rec(R) = [−1, 1]

Definici´n 1.3. Diremos que una relaci´n R ⊆ A × B es una funci´n de A en B,
o
o
o
si
(∀x ∈ A)(∃!y ∈ B)

(x,y) ∈ R

Observaci´n: En el caso en que
o
A ⊆ , se dice que la funci´n es
o
de variable real. Si adem´s B = ,
a
entonces diremos que la funci´n es
o
real de variable real.

Ê

Ejemplos:
o
1. La relaci´n R = {(1, 2), (0, 2), (−1, 4)} es una funci´n, puesto que ∀x ∈
o
{−1, 0, 1} existe un unico y ∈ {2, 4}, tal que xRy.
´

Ê

2. La relaci´n R = {(1, 2), (1, 4), (0, 4), (−1, 4)}no es una funci´n, porque 1R2 y
o
o
1R4. Es decir, 1 no se relaciona con unico elemento.
´

En las funciones, para indicar que xRy se escribir´ y = f (x) y adem´s una funci´n se
a
a
o
escribir´ como
a
f :A
x

1.2.

−→ B
−→ y = f (x)

´
´
Elementos basicos de una funcion
A se llama dominio de la funci´n, y se denota por A = Dom(f ).
o
B=

Ê se llama codominio de lafunci´n y se denota por B = Cod(f ).
o

y = f (x) se llama la imagen de x por f o variable dependiente.
x se llama variable de la funci´n o variable independiente.
o

2

Observaci´n: En el caso de las
o
funciones reales de variable real se
tiene:
f :A⊆

Ê

−→

Ê

x

−→

y = f (x)

Ejemplos:

Apunte de = {(x, y) ∈ Ê : y = (Versi´on. En efecto, ∀x ∈ Ê, se
Algebra x } es unafunci´ preliminar)
on
1. La relaci´n R
o
´
tiene que y = x es unico en Ê. Es decir,
[No publicar]
2

2

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2

Ê, ∃!y = x2 ∈ Ê.

∀x ∈

Luego podemos escribir R, como:
f:

Ê

−→

Ê

x −→ y = f (x) = x2

Ê

Ê

2. La relaci´n R = {(x, y) ∈ 2 √y 2 = x} no√ una funci´n. En...