funciones

Capítulo 3:
Funciones en varias variables

Abstract
En este capítulo se abordará ...

Contents
1 Funciones en Varias Variables

63

2 Derivadas Parciales
2.1 Interpretación Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Ejercicios . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72
72
76
84

3 Derivadas Direccionales y el gradiente

85

4 Plano tangente y recta normal a una superficie
4.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89
91

5 Optimización

93

62

Jorge Monge Fallas

1

Funciones en Varias Variables

Definición1 Sea D un conjunto de n-tuplas de Rn . Si a cada x ∈ D, con x = (x1 , x2 , . . . , xn )le
corresponde un número real z = f (x), entonces se dice que f es función en las variables x1 , x2 , . . . , xn
. El conjunto D es el dominio de f , el correspondiente conjunto de valores f (x) es el recorrido de f .
Se tiene la siguiente notación
f : Rn → R
¶
µ
f x1 , x2 , . . . , xn =
z
|
{z
}variable dependiente
{z
}
|
variables independientes

Definición 2 El gráfico de f está definido por
©
ª
Gf = (x1 , x2 , . . . , xn , z) ∈ Rn+1 tal que z = f (x1 , x2 , . . . , xn )

La representación de la gráfica de f se debe hacer en un espacio n + 1 dimensional.
Remark 1 En caso de que n = 3 se tiene que
¶
µ
f x, y, z
| {z }

f : R3 → R
=

variables independientes

En el casode que n = 2 se tiene que

f

µ

¶

x, y
|{z}

w
variable dependiente
{z
}
|

f : R2 → R
=

variables independientes

z
variable dependiente
{z
}
|

Como f (x, y) = z y podemos definir F (x, y, z) = f (x, y) − z = 0 como una nueva función, podemos
concluir del apartado anterior que la gráfica de f corresponde a una superficie cuya ecuación es
F (x, y, z) = f (x, y) − z= 0.
Ejemplo 1 Para cada una de las siguientes funciones, determine su dominio
p
1. f (x, y) = 1 − (x2 + y 2 ) función de dos variables

Al igual que para funciones de una variable, determinar el dominio consiste en definir el conjunto
de valores para los cuales f (x, y) está definida. Por lo que para nuestra función se tiene que el
p
dominio de f (x, y) = x2 + y 2 − 1 está formado por elconjunto de puntos (x, y) tales que
x2 + y 2 − 1 ≥ 0
x2 + y 2 ≥ 1

Si tomamos la igualdad x2 +y 2 = 1 representa una circunferencia de radio 1, por lo que x2 +y 2 ≥
1 representa el conjunto de puntos (x, y) exteriores a una circunferencia de radio 1 incluyendo
la circunferencia, como se muestra en la figura
Como se puede ver el dominio de una función de dos variables corresponde en este caso auna
región en el plano XY .
63

Jorge Monge Fallas

p

x2 + y 2 ≥ 1

x2 + y 2 − 9
función de dos variables
x
De igual forma que en el caso anterior consideramos la restricción por la raíz, además de la
restricción en el denominador, es decir, x 6= 0. Así

2. f (x, y) =

x2 + y 2 − 9 ≥ 0
x2 + y 2 ≥ 9

A diferencia de la región anterior, el dominio de esta función es elconjunto de puntos (x, y),
exterior a la cirncunferencia de radio 3 incluyendo la circunferencia y exceptuado el eje Y (x = 0)
como se muestra en la figura

x2 + y 2 ≥ 9
64

Jorge Monge Fallas
x
función de dos variables
3. f (x, y) = p
9 − (x2 + y 2 )

x
, debemos
Por último, para determinar el dominio de esta función f (x, y) = p
9 − (x2 + y 2 )
considerar la restricción
¡
¢
9 − x2+ y 2 > 0
¢
¡
− x2 + y 2 > −9
x2 + y 2 < 9

Por lo que el dominio de nuestra función es el conjunto de puntos (x, y) que se encuentran en
el interior de una circunferenica de radio 3, como se indica en la figura

x2 + y 2 < 9
4. f (x, y, z) =

p
9 − x2 − y 2 − z 2 función de tres variables

Por último, para determinar el dominio de esta función f (x, y, z) =
considerar la...