Funciones

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN FUNCIONES Función Sean A y B conjuntos. Una función f de A en B es una regla que asigna a cada elemento x 2 A exactamante un elemento y 2 B: El elemento y 2 B, se denota por f (x) ; y decimos que f (x) es la imagen de x bajo f , o que f (x) es el valor de f en x: x se llama la variable independiente e y la variable dependiente.Notación: Si f es una función de A en B; también escribimos f : A ! B o A ! B; o más explícitamente f :A!B x 7 ! y = f (x): Ejemplo Consideremos los siguientes conjuntos: A = f0; 1; 2; 3; 4g ; B = f10; 20; 30g ; C = f5; 6; 7; 8g ; D = f40; 50; 60g :
f

Si f y g son las relaciones de…nidas mediante estos diagramas, tenemos que: f asigna a cada valor del conjunto A un sólo valor del conjunto B;luego f es una función de A en B; pero como g asigna al número 5 dos valores distintos 40 y 50 del conjunto D, g no es una función de C en D: Dominio y Rango de una Función Si A y B son conjuntos y f es una función de A en B; el conjunto A se llama dominio de la función y se denota Df . El rango de f , denotado Rf ; es el conjunto de todos los valores posibles de f (x) cuando x toma todos losvalores en el dominio, es decir, Rf = ff (x) = x 2 Ag .

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Una Función Como una Máquina Podemos interpretar una función f de A en B como una máquina f que recibe elementos x de A y los transforma en elementos f (x) de B

Ejemplo Sea f la función de…nida por f (x) = 2x. y = f (5) = 10: Si entra x = 5, la máquina f lo múltiplica por 2 y arroja

x = 5 es un elemento del dominio de f y f (5) = 10es un elemento del rango, ya que 10 es la imagen de 5 mediante f . Claramente, la "máquina" f acepta cualquier número real como entrada, por lo tanto, el dominio de f es R. Un número es elemento del rango si es el doble de un número real, es decir, si es imagen de su mitad. Luego, el rango de f es R. Si f es una función de A en B, y tanto A como B son subconjuntos de R, decimos que f es unafunción real. En adelante trabajaremos con funciones reales. Evaluación de una Función Evaluar una función en un punto es hallar el valor de la función en ese punto. Para ello se reemplaza la variable independiente por ese punto y se calcula el valor de la variable dependiente, es decir, se encuentra el valor de f en dicho punto. Ejemplo Sea f (x) = 5x + 1. Para evaluar f en 3 escribimos f (3) = 5 3 + 1= 16. Y entonces f de 3 es igual a 16 es decir, 16 es la imagen de 3 bajo la función f . Claramente el dominio de f es R ya que la expresión 5x + 1 está de…nida para cualquier número real. ¿Cuál es el rango de f ? Ejemplo Sea f (x) = 4x2 + 5x. Calcular Solución Primero, evaluemos f en a y en a + h, es decir, hallemos f (a) y f (a + h) : f (a) = 4a2 + 5a f (a + h) h f (a) , si a y h son númerosreales y h 6= 0.

f (a + h) = 4 (a + h) + 5 (a + h) = 4 a2 + 2ah + h2 + 5a + 5h = 4a2 + 8ah + 4h2 + 5a + 5h 2

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Luego, realizamos las operaciones indicadas: f (a + h) h f (a) 4a2 + 8ah + 4h2 + 5a + 5h h 4a2 + 8ah + 4h2 + 5a + 5h = h 8ah + 4h2 + 5h = h h (8a + 4h + 5) = h = 8a + 4h + 5: = 4a2 + 5a 4a2 5a

Determinación del Dominio de una Función En los ejemplos anteriores fue fácildeterminar el dominio de la función, ya que las reglas que de…nian las funciones tenían sentido para todos los números reales, pero hay otras funciones como las que involucran radicales o cocientes, que no están de…nidas para todo x 2 R. Recordemos que las expresiones fraccionarias no están de…nidas para los valores que hacen 0 el denominador, y las expresiones que involucran radicales sólo tienensentido para los valores que hacen positiva o 0 la cantidad subradical. Ejemplo Hallar el dominio de la función f de…nida por f (x) = Solución Para que la expresión tenga sentido, el denominador debe ser diferente de 0: Entonces el dominio de f es: Df = x 2 R= 9x2 Los valores para los cuales 9x2 4 6= 0 : 1 : 9x2 4

4 = 0 están excluidos del dominio: 9x2 4 = 0 (3x + 2) (3x 2) = 0 3x + 2 = 0 ó 3x 2 =...