Funciones

Instituto Tecnológico de Puebla (I.T.P.)

Matemáticas 1: Calculo Diferencial

Complemento de la unidad 2:
Funciones

Torres Baltazar Omar
Picazo Parra Jesús Martin

Equipo: 5

Puebla Pue., a 10 de septiembre de 2012.
FUNCIONES

DEFINICION DE FUNCION:
Una función es una regla, o una correspondencia, que relaciona dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjuntocorresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto.
Una función f desde un conjunto X hacia un conjunto Y es una regla que asigna a cada elemento x en X un elemento único y en Y. El conjunto x se llama dominio de f. El conjunto de elementos correspondientes y en Y se denomina contradominio rango o ámbito de f.
Ejemplo:
Del lado izquierdo observamos el conjunto de partida (primer conjuntorepresentado por los valores que le asignemos a la variable independiente “X”), del lado derecho observamos el conjunto de llegada (segundo conjunto representado por los valores que toma la variable dependiente “Y”) y sobre la flecha está indicada la relación matemática (función f) que transforma los valores del conjunto de partida en los valores del conjunto de llegada (ver imagen 1.1).
|Imagen 1.1 |
FUNCIÓN CONSTANTE:
En general una función constante es una función cuya fórmula es y=k , donde k es un número real. Su representación gráfica es una línea recta que corta al eje de ordenadas en el punto k.
Ejemplo:
y=2 . La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una tabla de valores tendríamos:
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
y | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |

Por tanto sirepresentamos todos esos valores, y más que podríamos calcular, todos están en el 2 y la gráfica resulta una línea recta que corta al eje de ordenadas en el punto 2 (ver imagen 1.2).
| | Y = 2 |
| Imagen 1.2 | |

VARIABLE:
En esta situación a x se le denomina variable independiente, o argumento de f, y a y se le denomina variable dependiente, ya que su valor depende del valor de x.
Si sedefine una función por medio de una fórmula algebráica, adoptamos el convenio de que el dominio consta de todos los valores de la variable independientes x para los cuales la fórmula tiene sentido (a menos que se mencione explícitamente otro).
Toda función dada por una ecuación de la forma y = f (x) tiene una representación gráfica. La gráfica de f consta de todos los puntos (x, y) en el plano decoordenadas, tales que y = f (x) y x está en el dominio de f.

NOTACIÓN FUNCIONAL:
Una sola letra como f (o g o F) se utiliza para nombrar una función. Entonces f (x), que se lee “f de x” o “f en x”, denota el valor que f asigna a x, expresa que y = f(x).
Por lo tanto, si f (x) = x3 - 4, entonces:
F (2) = 23 – 4 = 4
F (a) = a3 – 4
F (a + h) = (a + h)3 – 4 = a3 + 3a2h + 3ah2 + h3 – 4
Ejemplo:Para f (x) = x2 - 2x, determinar y simplificar

Solución:

VALOR DE UNA FUNCION:
Sea f una función. El número y del contradominio que corresponde a un número x escogido en el dominio es el valor de la función en x, o la imagen de x en y, y se denota por f(x).
Ejemplo:
Dominio X | | Rango Y |
| Imagen 1.3 | |

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN:
Es el conjunto formado por los elementos quetienen imagen. Los valores que le damos a “X” (variable independiente) forman el conjunto de partida. Gráficamente lo miramos en el eje horizontal (abscisas), leyendo como escribimos de izquierda a derecha (ver imagen 1.4).
El dominio de una función está formado por aquellos valores de “X” (números reales) para los que se puede calcular la imagen f(x).
En la imagen 1.2 notamos que si le asignamos losvalores “-2” y “-1” a la “X” estos no tienen imagen, por lo tanto no pertenecen al dominio de la función estudiada. Esto es lógico ya que los números negativos no tienen raíces reales sino raíces imaginarias.
RANGO DE UNA FUNCIÓN:
Es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función "Y" (variable dependiente), por eso se denomina “f(x)”, su valor depende del valor...