Funciones

Instituto Politecnico Nacional
UPIIG

C´lculo Diferencial e Integral
a

Agosto 2014
Prof. Aar´n Romo Hern´ndez1
o
a

Resoluci´n: Tarea 1
o
INSTRUCCIONES: Sobre tu bit´cora aplica las correcciones necesarias sobre la tarea 1. Rea
cuerda que las correcciones deben aplicarse en tinta roja y sin borrar los procedimientos incorrectos.
1. El dominio natural de una funci´n y = f (x) es elmayor conjunto de n´meros reales x para
o
u
los cuales la f´rmula proporciona valores reales para y. Determina los dominios naturales y
o
los rangos faltantes asociados de las siguientes funciones:
Funci´n
o
y = x2
y = 1/x
√
y= x
√
y =√ 4 − x
y = 1 − x2

Dominio
x ∈ (−∞, ∞)
x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, ∞)
x ∈ [0, ∞)
x ∈ (−∞, 4]
x ∈ [−1, 1]

Rango
y ∈ [0, ∞)
y ∈ (−∞, 0) ∪ (0, ∞)
y ∈[0, ∞)
y ∈ [0, ∞)
y ∈ [0, 1]

a) Rango de y = x2 . Al elevar cualquier n´mero x al cuadrado se obtiene por resultado un
u
n´mero positivo. Por lo tanto y ∈ [0, ∞).
u
1
b) Dominio de y = x . El denominador de la funci´n debe ser diferente de 0 (recordemos
o
que 1/0 no est´ definido como un n´mero real). Por lo tanto x puede tomar cualquier
a
u
valor sobre R excepto 0.
√
c) Rango dey = x. Consideramos s´lo el signo positivo de la funci´n ra´ cuadrada. Al
o
o
ız
sacar ra´ de un n´mero x ≥ 0 se obtiene por resultado un n´mero positivo. Por lo tanto
ız
u
u
y ∈ [0, ∞).
√
d) Dominio de y = 4 − x. El radicando debe considerarse como una cantidad mayor que
cero para que la ra´ no genere n´meros imaginarios,
ız
u

4 − x ≥ 0, ⇔ −x ≥ −4 ⇔ x ≤ 4.
Ten cuidado en elultimo paso, al multiplicar una inecuaci´n por −1 se invierte el sentido
´
o
de la desigualdad.
√
e) Dominio de y = 1 − x2 . El radicando debe considerarse como una cantidad mayor que
cero para que la ra´ no genere n´meros imaginarios,
ız
u
(1 − x2 ) ≥ 0, ⇔ (1 + x)(1 − x) ≥ 0.
A partir de las ra´
ıces de la funci´n a la izquierda de la desigualdad construimos una
o
tabla de prueba:
1aromoh@ipn.mx

1

(−∞, −1)
-2
(−)(+) = −

Intervalo
xp
(1 + xp )(1 − xp )

(−1, 1)
0
(+)(+) = +

(1, ∞)
2
(+)(−) = −

De la tercera columna del cuadro de prueba se concluye que la funci´n (1 − x)(1 + x) es
o
positiva en el intervalo (−1, 1). Entonces
(1 − x2 ) ≥ 0, x ∈ [−1, 1].
De la ultima ecuaci´n se sigue que el dominio de la funci´n es el intervalo [−1, 1].
´
o
o
2.Determine el dominio de
f (x) =

x+3
√
.
4 − x2 − 9

Debemos evitar dos cosas: (i ) que el denominador tome el valor de 0 y (ii ) que el radicando
tome valores mayores que cero.
Condici´n (i ).
o
4−

x2 − 9, ⇔ 16 = x2 − 9, ⇔ 25 = x2 , ⇔ 5 = |x|.

x2 − 9 = 0, ⇔ 4 =

Concluimos
4−

x2 − 9 = 0, x = ±5,

O lo que es lo mismo:
4−

x2 − 9 = 0 para valores x ∈ (−∞, −5) ∪ (−5,5) ∪ (5, ∞),

(1)

Condici´n (ii ).
o
x2 − 9 ≥ 0, ⇔ (x + 3)(x − 3) ≥ 0.
Resolvemos la inecuaci´n
o
(x + 3)(x − 3) ≥ 0
utilizando un cuadro de prueba
Intervalo
xp
(xp − 3)(xp + 3)

(−∞, −3)
-4
(−)(−) = +

(−3, 3)
0
(−)(+) = −

(3, ∞)
4
(+)(+) = +

Concluimos
x2 − 9 ≥ 0, para valores x ∈ (−∞, −3) ∪ (3, ∞).

(2)

Requerimos que en el conjunto dominio se cumplansimultaneamente las condiciones (i ) y
(ii ), es decir, x debe pertenecer al conjunto
x2 − 9 = 0, x2 − 9 ≥ 0}.

Df = {x ∈ R|4 −

La intersecci´n de los conjuntos establecidos en (1) y (2) satisfacen esta condici´n, es decir:
o
o
Df = (−∞, −5) ∪ (−5, −3) ∪ (−3, 3) ∪ (3, 5) ∪ (5, ∞).

2

3. Las siguientes ecuaciones determinan una relaci´n entre las variables x y y
o

−x, x < 0

2
2(a) x + y = 4,
(b) y = |x|,
(c) y = x2 , 0 ≤ x ≤ 1, .


1,
x > 1.
(i ) Escribir cada relaci´n de la forma y = f (x), (ii ) Graficar las relaciones y = f (x), (iii )
o
Podemos considerar las tres f´rmulas como funciones. ¿Por qu´?
o
e
Despejando la variable y (algunos incisos ya est´n despejados) obtenemos las relaciones
a

−x, x < 0

2,
(b) y = |x|,
(c) y = x2 , 0 ≤ x ≤ 1,...