Funciones

Cap´ ıtulo 3

Funciones y Gr´ficos a
En este cap´ ıtulo se introducir´ el concepto de funci´n junto con estudiar las funciones a o m´s b´sicas e importantes de las matem´ticas. El concepto de funci´n ser´ esencial para a a a o a luego poder, en el pr´ximo cap´ o ıtulo, introducir las nociones b´sicas del c´lculo. Los a a gr´ficos de las funciones ser´n de gran ayuda para visualizar elcomportamiento de dichas a a funciones. Se comenzar´n estudiando las funciones de primer y segundo grado, Luego a estudiaremos las funciones exponenciales, logar´ ıtmicas y las funciones trigonom´tricas. e Finalizaremos el cap´ ıtulo estudiando un poco el algebra de funciones.

3.1.

Concepto de funci´n o

Se dar´ por supuesto que el lector est´ familiarizado con las relaciones b´sicas de la a a ateor´ de conjuntos. ıa ´ o Definicion 1 (de funcion) Una funci´n f de un conjunto A en un conjunto B es una regla que hace corresponder a cada objeto o elemento de A un unico elemento de ´ B. El conjunto A se llama dominio de f (denotado Dom(f )) y el conjunto B se llama codominio de f . En principio, no es necesario que cada elemento del codominio se le haga corresponder uno del dominio.
A
f

BPara expresar que el dominio de f es el conjunto A y que el codominio de f es el conjunto B, escribimos : f f : A → B o bien A → B Si x es un elemento de A, o sea x ∈ A, el unico objeto y ∈ B que le corresponde a x ´ mediante f se llama imagen de x por f o valor de f en x y se denota f (x) (l´ase f e

72 de x). Muchas veces se suele llamar y a f (x). x ∈ A → y = f (x) ∈ B Ejemplo 3.1.1 1.
fFunciones y Gr´ficos a

A : R+ → R+ r → πr2 A es una funci´n que a un n´mero real r le hace corresponder el valor del ´rea o u a de un c´ ırculo de radio r. El dominio y el codominio de A es el conjunto de los n´meros reales positivos R+ . u V: E={Conjunto de electores} → C={canditatos} v → ¸andidato”de v. c V es una funci´n que le hace corresponder a cada elector el candidato al cual ´ste oe se adhiere. El dominio de V es el conjunto de electores y el codominio de V es el conjunto de candidatos. M : P={Conjunto de personas} → M={Conjunto de mujeres} p → madre bi´gica de p o M es la funci´n que a cada persona le hace corresponder su madre. El dominio de o M es el conjunto de personas y el codominio de M es el conjunto de mujeres.

2.

3.

o ız Ejemplo 3.1.2 Consideremos lafunci´n ra´ cuadrada”: √ f : x ∈ R+ → x ∈ R La funci´n f (x) le hace corresponder a cada n´mero x real positivo su ra´ cuadrada. o u ız Por ejemplo, esta funci´n le hace corresponder al 16 el 4. o 16 → 4 f (16) = 4 El conjunto de los elementos de B que corresponden a alg´n elemento de A por f se u llama recorrido de f o conjunto imagen de f y se suele denotar f (A). o Ejemplo 3.1.3 Consideremos lasiguiente funci´n f : A = {2, 4, 6, 8, 10} , B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 1 f : A → B, definida por f (x) = 2 x En este caso, como el n´mero de elementos del dominio es reducido, podemos adem´s u a definir la funci´n f(x) con ayuda de una tabla : o x 2 4 6 8 10 f(x) f(2)=1 f(4)=2 f(6)=3 f(8)=4 f(10)=5
f

3.1 Concepto de funci´n o El recorrido de f esta formado por 5 elementos : f (A) = {1, 2, 3,4, 5}

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Si x representa un elemento gen´rico del dominio de ”f ”e y la correspondiente imagen e f (x) en el recorrido de f , se dice que x es la variable independiente de f e y es la variable dependiente de f . Se suele representar a una funci´n f en el plano cartesiano mediante o un gr´fico. a ´ Definicion 2 (de grafico) El gr´fico de una funci´n f (x) es el conjunto de los sigua o ientespuntos en el plano cartesiano : Gf = x, f (x) / tal que x pertenece al dominio de f

Definicion 3 (de ra´ Las ra´ ız) ıces, o ceros, de una funci´n f (x) corresponden al cono junto de valores para x tal que f (x) = 0. Visto desde el punto de vista del gr´fico de a f , las ra´ ıces de f son todos los puntos en donde Gf coincide con el eje x del plano cartesiano.

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Funciones y Gr´ficos a...