Funciones

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Probabilidades para Edades Fraccionarias
En el caso de que se tenga que calcular el valor de algunas funciones biométricas, para edades con una parte fraccionaria, existen supuestos teóricos quepermiten calcular dichas funciones. Lo más común es suponer distribución uniforme de fallecimiento (DUM), sin embargo existen otros tipos de supuestos que pueden utilizarse, sin que se pueda decir quealguno es mejor que otro. A continuación se presenta un resumen de fórmulas bajo tres supuestos teóricos de mortalidad. Se supondrá que x es entero, y que 0 < t < 1, 0 ≤ y ≤ 1, t + y ≤ 1 y μ = − logpx .

Distribución Uniforme de Muertes: s(x + t) = (1 − t)s(x) + ts(x + 1) Fuerza constante de Mortalidad: s(x + t) = s(x)e−μt donde μ = − ln px Supuesto de Balducci: 1 / s(x + t) = (1 − t) / s(x) +t / s(x + 1)

Función

Fórmula según Supuesto que se aplica Distribución uniforme de muertes (DUM) Fuerza de mortalidad Constante Distribución Hiperbólica (Balducci)

Ref. (7.1)

l x +t

lx− t ∗ d x

t lx px

1⎞ ⎛ 1 + (1 − t ) ⎟ ⎜t lx ⎠ ⎝ l x +1

−1

Ref. (7.2)

1
(1 − t ) s ( x ) + t ⋅ s ( x + 1)

s( x + t )

s ( x ) ⋅ e − μt
donde

(1 − t ) t + s( x) s( x + 1)

μ= − log( p x )
Ref. (7.3)
t

qx

t * qx

t 1 − e−μt = 1 − px

t * qx 1 − (1 − t ) * q x

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7.

Probabilidades para Edades Fraccionarias

Función

Fórmula segúnSupuesto que se aplica Distribución uniforme de muertes (DUM) Fuerza de mortalidad Constante Distribución Hiperbólica (Balducci)

Ref. (7.4)
t

px

1 − t * qx

t e−μt = px

px 1 − (1 − t ) * q xy * qx 1 − (1 − y − t ) * q x

Ref. (7.5)
y

qx +t

y * qx 1 − t * qx qx 1 − t * qx
qx

1 − e −μy

Ref. (7.6)

μ

μ( x + t )
Ref. (7.7)

qx 1 − (1 − t ) * q x

μe−μt

t

p xμ (x + t)
qx 1− 1 qx 2
lx − 1 d x 2 Lx

pxqx [1 − (1 − t ) * q x ]2
2 qx − px ln px

Ref. (7.8)

μ

mx
Ref. (7.9)

dx

μ

− lx +1

ln px qx

En la práctica de las operaciones...