Funciones

1.- Recta tangente a la curva.

Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva.

Por lo tanto la ecuación de la recta es:

Dada la curva de ecuación f(x) = x2 − 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.

2.- Rectanormal a la curva.

Se denomina recta normal a una curva correspondiente a la función en un punto dado a la recta que es perpendicular a la recta tangente a la curva en dicho punto

Por lo tanto la ecuación de la recta normal es:



3.- Variación de una función real: Rapidez Instantánea.

A.- Cuando el tiempo cambia, la posición laposición de la partícula en la recta también cambia.
B.- Sea f(t) la función que define la posición de la partícula en el instante t.
C.- En el instante la partícula tiene la posición
D.- En el instante la posición es
E.- La distancia se llama desplazamiento de la partícula en el intervalo de tiempo
F.- Si entonces es un desplazamiento positivo.

G.- La Rapidez media de la partículadurante el intervalo de tiempo esta dada por:



Para calcular la rapidez instantánea de la partícula en el instante cuando está en la posición debemos encontrar cada rapidez medida sobre intervalos de tiempo más y más pequeños que comiencen o terminen en . Cada rapidez media puede aproximarse a un valor llamado rapidez instantánea, quecorresponde al límite de cada rapidez media medida en intervalos pequeños en torno a .

Hacemos de donde .Luego,

4.- Concepto de derivada de una función real.

Tanto en la determinación de la pendiente de la recta tangente a una curva correspondiente a una función en uno de sus puntos, como en la determinación de la rapidez instantánea de un móvil, se ha usado el concepto de límite deuna función mediante la expresión.

A este límite, si existe, se le denomina derivada de una función en en general, sea una función real y sea . Decimos que es derivable en si y solo si existe el límite

Este límite, cuando existe, se denomina derivada en y se denota por

5.- Función derivable de un intervalo.

Dada una función real definida en la , se dice que es derivable endicho intervalo si existe la derivada de en x.

Ejemplo: Dada la función f(x)= definida en , verificaremos si f(x) es derivable en dicho intervalo
Si tomamos un valor

6.- Función derivada de una función.

Si una función es derivable , la función se denomina función derivada de .
Si es, a su vez, derivable, la derivada de se denomina derivada segunda de f y se representa por o .Siguiendo de este modo, se tienen las derivadas tercera, cuarta,…, n-ésima.
Ejemplo:La función derivada de una función ) es una función que asocia a cada número real su derivada, si existe. Se denota por .



Calcular la función derivada de f(x) = x2 − x + 1.

7.- Propiedades sobre funciones derivadas de funciones reales

A.-Función derivada de la función constante.Sea la función real ,si c es constante , entonces:

Luego,
Si

Ejemplos
i) Si ii) Si

B.- Función derivada de la función potencia

Sea la función real

=

Luego,
Si entonces

Ejemplos:
i) Si entonces ii)Si entonces

C.- Función derivada de una función

Considerando la función tal que sufunción derivada es:

Luego, si
En general:

Ejemplos:

*

*

D.- Función derivada de una suma y de una diferencia de funciones

Si f y g son dos funciones definidas en R, derivables , entonces es derivable en y se cumple que:

Ejemplo:
Si

E.- Función derivada del producto de una constante por una función

Si

Ejemplo:

Sea

Luego

F.- Función derivada...