funciones

CALCULO

C A P I T U L O N O: 1

1.5.- FUNCIONES Y SUS GRAFICAS

OBJETIVO.- Que el alumno conozca el concepto de función, su
representación gráfica así como su uso en el Cálculo.

1.5.1.- Introducción.
Como ya mencionamos al inicio de estas notas, el Cálculo es aquella rama de las matemáticas
cuyo objeto de estudio son los Fenómenos del Cambio, entendiendo por Fenómeno del Cambio
todoaquel que en su desarrollo experimenta la variación en el valor de alguno de sus parámetros
distintivos con respecto a otro de ellos, como:
•

La posición de un móvil con respecto al tiempo;

•

El volumen de una esfera con respecto al diámetro;

•

El rendimiento en dinero con respecto al capital; etc.

Según veremos con más detalle en los siguientes ejemplos:
Ejemplos No. 1.
1.El cambio en la cantidad de materia con respecto al tiempo, que sufre un material radiactivo
en su proceso de desintegración.
2. El cambio en el volumen con respecto a la concentración de levadura, que experimenta una
masa adicionada con levadura en el proceso de fermentación.
3. El cambio en el volumen con respecto al radio de un globo esférico, a medida que se llena de
aire.
4. El cambioen la velocidad con respecto a la posición de un móvil, que se desplaza según una
cierta ley dada.
5. El cambio en la cantidad de carga almacenada con respecto al tiempo, por un condensador al
que se le aplica un voltaje v(t) conocido.
En todos estos casos está implícito un fenómeno de cambio y, por lo tanto, en su estudio
emplearemos técnicas y reglas propias del cálculo.
Sea el ejemplo No.3.

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M. C. J. A G U S T Í N

FLORES

AVILA

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Se trata en este caso de estudiar el cambio que experimenta el volumen de un globo esférico a
medida que su radio varía, variación que por supuesto es conocida y que es originada por la
introducción paulatina y continua de aire al globo.
Para estudiar este problema necesitamos contar con los siguientesdatos y/o conocimientos:
1. Necesitamos conocer la relación que hay entre el volumen y el radio de una esfera. Es decir,
necesitamos conocer la fórmula para calcular el volumen de una esfera de radio conocido.
2. Necesitamos saber como varía el volumen de la esfera a medida que varia el radio de ella.
3. Debe ser claro que estas dos variaciones se dan con respecto al tiempo, ya que . . .
4.Estas variaciones dependen de la velocidad (variación con respecto al tiempo de . . . ) con la
que entra el aire al globo, además de que . . .
5. La introducción del aire al globo se da en forma continua.
Con estos datos y con las técnicas y las reglas del cálculo es posible realizar nuestro cometido.
Veámoslo:
El punto No. 1 nos dice que es necesario conocer la fórmula para calcular elvolumen de una
esfera cuando conocemos su radio. Esta fórmula, sabemos que es:
V = (4 π r3) / 3
En realidad lo que nos dice esta fórmula es que el volumen de la esfera depende del valor del
radio. Es decir, el valor del volumen está determinado por el valor del radio.
En esta afirmación tan simple se esconde uno de los conceptos fundamentales del cálculo que es
el de:
1.5.2.- Función.
Cuyadefinición es la siguiente:

FUNCION
Es una regla de correspondencia f(x) mediante la cual a cada
elemento “ a de un conjunto A ( a ∈ B ) “ le corresponde uno y solo un
elemento “ b de otro conjunto B ( b ∈ B )“ y se indica como:
f:A→B

Analicemos la definición a partir de la pregunta: ¿Qué es una función?.
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FLORES

AVILA

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C A P I T U L O N O: 1•

Es simple y sencillamente una regla de correspondencia f(x).

•

Que establece una relación entre DOS conjuntos A y B.

•

Y que debe cumplir con que a cada elemento “ a ∈ A “ le corresponde uno y solo un
elemento “ b ∈ B “.

En nuestro ejemplo la regla de correspondencia es:
f( r ) = (4 π r 3) / 3
En este caso el valor del volumen varía y depende (es una función . . .) del...