funciones

ANALISIS I
Números Reales
Como se ha señalado anteriormente la necesidad de resolver diversos problemas de origen aritmético y geométrico llevar a ir ampliando sucesivamente los conjuntos numéricos, ℕ⊂ℤ⊂ℚ, y a definir el conjunto de los números irracionales, 𝕀, cuya intersección con los otros es vacía. A partir de los números racionales y los irracionales se define un nuevo conjunto al que sedenomina conjunto de números reales.
El conjunto de los números reales, ℝ, es la unión del conjunto de los números irracionales, es decir, ℝ = ℚ ∪ 𝕀.
Es inmediato que dado un número real cualquiera o bien es racional o bien es irracional ya que la intersección de ℚ e 𝕀 es vacía.
Operaciones en el conjunto de números reales
La suma de una operación interna en ℝ y sus propiedades se enumeran acontinuación. Dados a,b yc ϵ ℝ se verifica :
1) asociativa : (a +b) +c = a + (b + c)
2) elemento neutro: es el número 0, y que a + 0= 0 + a = a
3) elemento simétrico: dado a, su elemento simétrico, llamado opuesto, es –a, ya que se cumple a + (-a) = (-a) + a = 0
4) conmutativa: a + b = b + a
Con estas propiedades se puede decir que le conjunto de los números reales con la operación suma esun grupo conmutativo.
El hecho de que dado cualquier número real exista su elemento opuesto permite que la resta en ℝ, definida por a – b = a + (-b), sea una operación interna.
El producto es una operación interna en ℝ y sus propiedades se enumeran a continuación. Dados a, b y c ϵ ℝ se verifica:
1) asociativa: (a . b). c = a . ( b . c)
2) elemento neutro: es el número 1, ya que 1 . a = a . 1 =a
3) elemento simétrico: dado a≠0, su elemento simétrico, llamado inverso, es a-1 = 1/a´ ya que se cumple a . (1/a) = (1/a) . a = 1
4) conmutativa: a .b = b . a
5) conmutativa: a . b = b . a
Con estas propiedades y las enumeradas para la suma se puede decir que el conjunto de los números reales con las operaciones suma y producto es un cuerpo conmutativo.
El hecho de que dado cualquiernúmero real no nulo exista su elemento inverso permite que la división en ℝ, definida por a : b = a . 1/b = a/b , exista siempre que b sea no nulo.

Orden en el conjunto de los números reales
En el conjunto de los números reales existe una ordenación “natural” que se puede definir a partir de las relaciones de orden “menor “ o “ menor o igual”.
Dados dos números reales distintos, a y b, se dice quea es menor que b y se escribe a a. análogamente, si a ≤ b también se dice que b es mayor o igual que a y se escribe b ≥ a.
Axioma del Supremo o de Completitud
El análisis real, se denomina axioma del supremo o Axioma de completitud a uno de los axiomas que componen el cuerpo de los números reales, esl cual establece:
La propiedad de completitud de IR dice que los números reales ``rellenan larecta numérica'', o que no ``dejan huecos en la recta''. Es decir, a cada punto de la recta le corresponde un número real. Pero ¿qué significa esto matemáticamente?. En otras palabras, cómo escribir esto con el lenguaje propio de la teoría de números reales, sin hacer alusión a la interpretación geométrica de éstos como puntos de una recta. 
Para tratar de precisar esto, tomemos un punto P en larecta, y consideremos el conjunto A formado por todos los números reales ``ubicados'' a la izquierda de ese punto. Consideremos también el conjunto B formado por todos los números reales``ubicados'' a la derecha del mismo punto. Tenemos entonces que para x Є A y y Є B se cumple x ≤ y. La completitud dice que hay un número real α que corresponde al
punto P, y por lo tanto x ≤ α ≤  y, paratodo x Є A y todo y Є B.
 
A α B
Interpretación geométrica de la completitud
 
Esto nos sugiere la siguiente forma de axiomatizar la completitud: 
Axioma de completitud (Sean A y B subconjuntos no vacíos de IR, tales que x  7), excluido el 7,  hasta el infinito (+ ∞)

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