Funciones

FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS.

Una función f(x) es continua en un punto x = a si el límite de f(x) al tender x a a es f(a). Cuando una función no cumple esta condición en un punto, se dice discontinua en dicho punto, o que tiene una discontinuidad en él.

En un problema sobre continuidad podemos:
Primero: determinar si una función f(x) es continua o discontinua en un punto dado.Segundo: determinar en qué puntos es discontinua una función f(x).



A. Una función f(x) es continua en un punto x = a si:




B. Una función f(x) es discontinua para x = a si no satisface las condiciones de continuidad.

Ejemplo 1: (gráfica 1) determina si la función f(x) = x2 + 1 en x = 5
Analizamos si cumple las condiciones de continuidad:

f(x) = x2 + 1

1) f(5) = 52 + 1 =26

2) [pic] x2 + 1 = 26


3) como se cumple que: [pic] x2 + 1 = f(5) es continua en x = 5


Ejemplo 2: (gráfica 2) determina si la función [pic] es continua en x = 1
Analizamos si cumple las condiciones de continuidad:
[pic]
1) [pic] No está definido
2) [pic] [pic] No existe


Al llegar a este resultado ya no es necesario continuar el análisis. Por lo que lasolución es: la función [pic] no es continua para x = 1





FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES.

Una función es creciente si al aumentar el valor de la variable independiente, aumenta el valor de la función o si disminuye al disminuir el valor de la variable independiente.

Una función es decreciente si al aumentar el valor de la variable independiente, disminuye el valor de la funcióno si aumenta al disminuir el valor de la variable independiente.

A. Una función es creciente cuando se cumple: [pic] para cualquier h positiva; entonces la función f(x) es creciente.

Ejemplo 3 (gráfica 3): Señala si la función es creciente o d es creciente o decreciente.

Analizamos el comportamiento de f(x) en el punto x + h;
Entonces [pic]
[pic]
Analizamos f(x+h) –f(x) para determinar si el valor es mayor o menor que cero
Sustituimos: [pic]
[pic]
[pic]
Como señalamos que h es siempre positiva, es evidente que el resultado es positivo
concluyendo entonces que la función: [pic] es creciente.

B. Una función es decreciente si se cumple: [pic] para cualquier h positiva, entonces la función f(x) es decreciente.Ejemplo 4 (gráfica 4): Señala si la función [pic] es creciente o decreciente.

Analizamos el comportamiento de f(x) en el punto x + h
Entonces [pic]
Analizamos f(x+h) – f(x) para determinar si el valor es mayor o menor que cero:
Sustituyendo: [pic]
[pic]
[pic]
Como señalamos que h siempre es positiva, es evidente que el resultado del ejemplo es negativo, por lo queconcluimos que la función: [pic] es decreciente.
FUNCIONES PARES O IMPARES.

Se dice que una función es f es una función par si para toda x en el dominio de f se cumple que:
[pic]

O sea, una función es par si al sustituir el valor de la variable independiente x por [pic] se obtiene el mismo resultado.

Ejemplo 5: Señala si la función [pic] es par o impar.

[pic]
sustituimos x por –x;se tiene:
[pic]
como la expresión [pic] es la [pic] inicial se cumple que: [pic]
de donde [pic] es una función par.


Se dice que una función f es una función impar si para toda x en l dominio de f se cumple que:
[pic]

o sea, una función es impar si al sustituir el valor e la variable independiente x por –x se obtiene el valor simétrico de la función.

Ejemplo 6: señala si la función[pic] es par o impar

[pic]
Sustituimos x por –x y se tiene:
[pic]
la expresión [pic] puede expresarse como [pic]
se cumple que: [pic]
de donde [pic] es una función impar.






La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje y.
La gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen.
Hay funciones que no son pares ni impares









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