funciones

Ejercicios Resueltos de Funciones
PROBLEMA 1:
Considere las funciones f (x) =

√

x+2

g(x) = x2 − 1
(f ◦ g)(x) = (g ◦ f )(x)

y

encontrar los valores de x, para los cuales

Soluci´ n: (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 − 1) =
o

√

√

x2 − 1

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g( x + 2) = (x + 2) − 1 = x + 1
√
por lo tanto: x2 − 1 = x+1 ⇐⇒ x2 +1 = x2 +2x+1 ⇐⇒
2x = 0 ⇐⇒ x = 0PROBLEMA 2:

1−

Encontrar la funci´ n inversa de f (x) =
o

1
x

1
1
1
=⇒ y 2 = 1 − =⇒ = 1 − y 2 =⇒ x =
x
x
x
1
por lo tanto f −1 (x) =
1 − x2

M

1
1 − y2

1−

at

Sea y =

es

Soluci´ n:
o

ta

y

¿ coincide el dominio de f con el de f −1 ?

El dominio de f es: Df = {x ∈ IR | 1 −

1
x

≥ 0} =

(−∞, 0) ∪ [1, ∞)
El dominio de f −1 es: Df −1 = {x ∈ IR |x2 = 1} =
IR − {−1, 1}
PROBLEMA 3:
Considere la funci´ n:
o

f (x) =

x2 si x ≤ 0
1
si x > 0
x2

Hallar su dominio y rango, as´ como el de su inversa.
ı
Soluci´ n:
o
El dominio de f son todos los n´ meros reales, y su rango es [0, ∞).
u
En el intervalo (−∞, 0), no tiene inversa, pero la funci´ n
o
restringida al intervalo [0, ∞) tiene como inversa:
−1

f (x) =
InstitutoNacional

0
1
√
x

si x = 0 Tanto el dominio como el rango de f −1
si x > 0 es [0, ∞).
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PROBLEMA 4:
Hallar el dominio y rango de las siguientes funciones:
a) f (x) =

1
x2 + 1

Soluci´ n:
o

x2 + 1 = 0 para toda x ∈ IR, por lo tanto el dominio
de f es todo IR, y como x2 + 1 ≥ 1 el rango es(0, 1].
√
b) g(x) = x2 − 4
Soluci´ n:
o
g tiene sentido si x2 − 4 ≥ 0, ⇐⇒ x2 ≥ 4 =⇒
Dg = (−∞, −2] ∪ [2, ∞), y su rango es [0, ∞).

es

ta

y

PROBLEMA 5:
√
Considerar las funciones f (x) = x + 1 y g(x) = x2 − 1,
encontrar:

at

a) El dominio de f

d) (f g)(x)
e) (f ◦ g)(x)

c) (f + g)(x)

f) (g ◦ f )(x)

M

b) El dominio de g

Soluci´ n:
o
Para f : Dominio [−1,∞), rango: [0, ∞).
Para g : Dominio (−∞, ∞), rango: [−1, ∞).

(f√ g)(x) =
+
1) x + 1.

√

x + 1 + x2 − 1, (f · g)(x) = (x2 +

√

(f ◦ g)(x) =
x2 − 1 + 1 = |x|, g ◦ f )(x) =
√
( x + 1)2 − 1 = x.

Instituto Nacional

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PROBLEMA 6:
x+1
Encontrar la funci´ n inversa de f (x) =
o

x

Soluci´ n:o

x

f no existe si x = 0, luego si

+ = y =⇒ x + 1 =
x 1
1
xy ⇐⇒ x(y − 1) = 1 ⇐⇒ x =
x−1
1
Por lo tanto f −1 =
x−1
PROBLEMA 7:

√

Para la siguiente funci´ n f (x) =
o

1 − x, hallar:
1
f

c) f ◦

b) f ◦ f

d) f −1 y su dominio

es

ta

y

a) Su dominio

M

at

Soluci´ n:
o
Dominio: x ∈ IR, tales que 1 − x ≥ 0 =⇒ x ≤ 1, por lo
tanto el dominio es(−∞, 1].

√

(f ◦ f )(x) = f ( 1 − x) =

1−

√

1−x

1
1
1
(f ◦ )(x) = f √
= 1− √
f
1−x
1−x
√
1 − x = y =⇒ 1 − x = y 2 =⇒ x = 1 − y 2, luego, f −1
existe en (−∞, 1] y f −1 (x) = 1 − x2 .
PROBLEMA 8:
Encontrar el dominio y los ceros de la siguiente funci´ n rao
cional:
x2 + x − 2

f (x) =

Instituto Nacional

x2 − 9
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Soluci´ n:
o
Dominio: {x ∈ IR | x2 − 9 = 0} = {x ∈ IR | x2 = 9} =
IR − {−3, 3}
Ceros: {x ∈ IR | x2 + x − 2 = 0} = {x ∈ IR | (x + 2)(x −

1) = 0} = {−2, 1}
PROBLEMA 9:
Encontrar el dominio de las siguiente funciones:
a) f (x) =

1
√

−1 +

b) g(x) =

x+1

√

x+1+

√

x+2

Soluci´ n:
o

ta

y

a) El dominio de f es:
√
Df = {x ∈IR | − 1 + x + 1 = 0, x + 1 ≥ 0} = {x ∈
IR|x ≥ −1, x = 0} = [−1, 0) ∪ (0, ∞)

es

b) El dominio de g es:
Dg = {x ∈ IR | x + 1 ≥ 0, x + 2 ≥ 0} = {x ∈ IR|x ≥

M

at

−1, x ≥ −2} = [−1, ∞)
PROBLEMA 10:
Sea f (x) =

2x − 1
1 + 2x

encontrar: a) f

1
x

yf

1+x
2 − 2x

Soluci´ n:
o
a) f

1
x

b) f

1+x
2 − 2x

Instituto Nacional

=f

2
x

−1
2
1+...