funciones

Tema 5

Funciones de varias variables
Supongamos que tenemos una placa rectangular R y determinamos la temperatura T en cada uno de sus puntos. Fijado un sistema de referencia, T
es una funci´n que depende de las coordenadas (x, y) de cada uno de los
o
puntos de R. La funci´n que describe este fen´meno
o
o
T = f (x, y),

(x, y) ∈ R

es un ejemplo t´
ıpico de una funci´n de dosvariables; en este caso, las cooro
denadas del punto donde evaluamos la temperatura. No es dif´ encontrar
ıcil
ejemplos de fen´menos que a la hora de describirlos necesitemos utilizar
o
funciones de tres, cuatro o m´s variables.
a
La definici´n formal de funci´n de varias variables es la siguiente:
o
o
Definici´n 5.1 Sea D un subconjunto de Rn . Una funci´n f de D en R
o
o
se llama un campoescalar o una funci´n real de n variables. La funci´n f
o
o
asigna, pues, a cada vector x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ D ⊆ Rn un valor real
f (x).
Las funciones de varias variables son esenciales en muchos problemas importantes de la ciencia, la ingenier´ la econom´ etc... De hecho, cualquier
ıa,
ıa,
f´rmula que proporcione una relaci´n entre una magnitud a partir de los vao
o
lores deotras magnitudes es, en realidad, una funci´n. Vamos a ver algunos
o
ejemplos:

101

Ejemplo 5.1
La magnitud de la fuerza gravitatoria ejercida por un cuerpo de masa
M situado en el origen de coordenadas sobre un cuerpo de masa m
situado en el punto (x, y, z) viene dada por
F (x, y, z) =

x2

GmM
+ y2 + z2

La ley de los gases ideales dice que la presi´n P de un gas es una
ofunci´n del volumen V y la temperatura T seg´n la ecuaci´n
o
u
o
P =

cT
V

donde c es una constante.
La desviaci´n S en el punto medio de una viga rectangular cuando
o
est´ sujeta por ambos extremos y soporta una carga uniforme viene
a
dada por
CL3
S(L, w, h) =
wh3
donde L es la longitud, w la anchura, h la altura y C una constante.

Nota: El dominio de un campo escalar f(denotado por Dom(f )) es el
subconjunto de Rn donde est´ definida la funci´n. En muchas ocasiones,
a
o
una funci´n viene dada por una expresi´n algebraica y su dominio no viene
o
o
dado expl´
ıcitamente. Entendemos, en este caso, que el dominio es el conjunto
de todos los puntos para los que la definici´n de f tiene sentido.
o
La imagen o recorrido de un campo escalar (denotado por Im(f )) es elsubconjunto de R dado por todos los valores que toma la funci´n f ; es decir,
o
Im(f ) := {f (x) : x ∈ Dom(f )}
La gr´fica de f es el subconjunto de Rn+1 , definido como
a
graf(f ) := {(x, f (x)) : x ∈ Dom(f )}
Evidentemente, s´lo podemos representar gr´ficamente las funciones de una
o
a
variable (su gr´fica est´ en R2 ) y las funciones de dos variables (su gr´fica
a
a
a
3 ).
est´ en Ra
102

5.1.

Representaci´n de funciones
o

Una forma de obtener informaci´n sobre el fen´meno descrito por una funo
o
´
ci´n de dos variables es estudiar su representaci´n gr´fica. Esta no es una
o
o
a
tarea sencilla pero disponemos de algunos m´todos que permiten hacernos
e
una idea de su comportamiento. Se trata de cortar la gr´fica de la funci´n
a
o
con planos paralelos alos planos coordenados. Empezaremos con planos
verticales.
Definici´n 5.2 Para una funci´n f (x, y), la funci´n que se obtiene al mano
o
o
tener la variable x fija y variando la variable y se llama secci´n transversal
o
de f con x fija. An´logamente se define una secci´n transversal de f con y
a
o
fija.
Ejemplo 5.2 Vamos a calcular la secci´n transversal, para x = 2, de la
o
funci´n f (x,y) = x2 + y 2 .
o
Soluci´n: Tal y como se observa en la Figura 5.1, la secci´n transversal
o
o
es la curva obtenida al cortar la gr´fica de f (x, y) con el plano vertical de
a
ecuaci´n x = 2.
o

Figura 5.1: Secci´n transversal con x fija
o
103

La secci´n transversal que hemos de encontrar es, precisamente, f (2, y) =
o
4+y 2 . Por tanto es una funci´n de y, digamos g, definida como...