funciones

1.- Funciones


1.1 A modo de introducción.
















El concepto de función es tan extenso y tan general que no es sorprendente encontrar una inmensa variedad de funciones que se presentan en la naturaleza. Lo que sí es sorprendente es que un corto número de funciones especiales rijan una multitud de fenómenos naturales totalmente diferentes.
Estas representacionesdan una imagen concreta y clara de eventos cotidianos hasta procesos profesionales, como lo pueden ser problemas empresariales de producción y productividad, de mercado o bien en el campo de la estadística.
Las funciones se representan mediante un sistema de coordenadas a partir de una expresión algebraica, la cual puede expresarse por medio de una tabla de valores o, como veremos luego, medianteuna grafica.
1.2 concepto de función.
Decimos que una variable y es una función de otra variable independiente x si existe una relación entre ellas de forma que a cada valor que demos a x corresponda uno de y.
Una función se representa, en general, de la siguiente manera:
y = f (x), que se lee y es igual a función de x; siendo y la función, x la variable independiente y f la característicaque depende del tipo de expresión algebraica que forma la x.

Ejemplo:
El espacio recorrido por un vehículo desde que se inicia el frenado del mismo hasta que se para viene dado por la función y=x2 en donde x representa el tiempo en segundos e y es el espacio recorrido en el tiempo considerado.

Dando valores a x vamos obteniendo los correspondientes valores de y según el siguiente cuadro:Para x=0 y=02=0
Para x=1 y=12=1
Para x=2 y=22=4
Para x=3 y=32=9
Para x=4 y=42=16

1.3 concepto de grafica.
Es la representación geométrica de la función.
1.3.1 Representación grafica de funciones.
TIPO
FORMA GENERAL
GRAFICA

Constante

y = b


Lineal

y = ax + b


Cuadrática

y = ax2 + bx + c


Exponencial

y = ax


Logarítmica

y = loga x1.4 Transformación de funciones.
A veces se quiere cambiar la entrada o la salida de una función, cuando hacemos eso, estamos haciendo una transformación de ƒ.
Ejemplo 1: Cambiar la entrada de f(x): f (x ± k)
Considere la función f (x) = x 2, analizar el efecto de cambiar la entrada por (x - 3),
Es decir f (x - 3):
Solución:
f ( x - 3 ) = ( x - 3 ) 2f ( x ) = x 2
f ( x - 3 ) = ( x - 3 ) 2






El efecto de restar a la salida 2 unidades, hace que la gráfica se desplace 2 unidades a la abajo.

Ejemplo 2: Cambiar la salida de f (x): k × f (x)
Considere la función f (x) = x 2, analizar el efecto de multiplicar la salida por unfactor de 3, es decir:
3 × f (x)

Solución:
3 × f (x) = 3 x 2


f ( x ) = x 2


3 × f ( x ) = 3 x 2
x
-2
-1
0
1
2
f ( x )
4
1
0
1
4








El efecto de multiplicar la salida por un factor de 3 unidades, hace que la gráfica se estreche horizontalmente.
1.5 Valores extremos.


1.5.1 Definición de extremos absolutos:
Sea f(x) una función definida en unintervalo I, los valores máximo y mínimo de f en I (si los hay) se llaman extremos de la función.
Se distinguen dos clases:
Un número f(c) es un máximo absoluto de f si f(x) f(c) para todo x en el intervalo I.
Un número f(c) es un mínimo absoluto de f si f(x)f(c) para todo x en el intervalo I.
Observa la gráfica de la función f(x)=1+x2 en el dominio [-3,5].
f(x)= 1 + x2
 
 
   

Comoobservarás la función f(x)=1+x2 en el dominio [-3,5] tiene dos valores que bien podríamos llamar extremos. Los puntos indican claramente que para ese dominio el valor mínimo de la función es 1 y el valor máximo es 26.
1.5.1.1 Extremos en la frontera.

Considera ahora la función f(x)=1+|cos(x)| en el dominio [/4,], la gráfica se muestra a continuación.
f(x)=1+|cos(x)|
 



Como ya te...