funciones

Grafica de una función: Es el conjunto formado por todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f, es decir, como un subconjunto del producto cartesiano X×Y. Se representa gráficamente mediante una correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen.
Las únicas funciones que se pueden trazar de forma completa son las de una sola variable, con un sistema decoordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. Si la función es continua, entonces la gráfica formará una línea recta o curva.
Función inyectiva: Una función f de dominio D = Dom(f) es inyectiva cuando a elementos distintos de D le corresponden imágenes distintas:
Si    x1, x2 ∈ D :      x1 ≠ x2     ⇒     f(x1) ≠ f(x2)
Dos elementos distintos del dominio D no pueden tener la misma imagen.



Ejemplo:
Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: g(x) = 1 – x3.
Primero elaboramos una tabla de pares ordenados y luego graficamos.
x
–2
–1
0
1
2
g(x)
9
2
1
0
–7


Función Biyectiva: Una función biyectiva es la llamada función uno a uno.
A todoslos elementos del primer conjunto le corresponde un solo elemento del segundo conjunto y visceversa. Todos los elementos del segundo conjunto son imagen de un único elemento del primero.
Ejemplo:
 La función f(x) = x2 del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva.


Función Sobreyectiva: Una función sobreyectiva es cuando elrecorrido cubre todo el conjunto de llegada. Es decir, todo elemento del conjunto de llegada (rango) es imagen de al menos un elemento del conjunto de partida (dominio).

Definición formal:
Sea la función f: A → B
Diremos que f es sobreyectiva, si y solo si, para todo y є B, existe x є A tal que f(x)= y. Es decir, la imagen de f es igual al Rango o codominio de la funciónEjemplo:
 Veamos si la función  f: R → R , donde  f(x) = x2 + 1, es sobreyectiva:
En este caso:

            El conjunto inicial de f es R .
            El conjunto final de f es:    R
           La imagen de f es [1 , ∞), es decir:    Im(f) = [1 , ∞)
            La imagen de f y el conjunto final de f no coinciden:

            Vease la parte rayada del eje OY. No coincide con todo R
Luegola función f no es sobreyectiva.


                





















Función Inversa: Si en una función biyectiva se cambian "x" por "y” y "y" por "x", y se despeja la nueva variable dependiente “y”, la relación resultante es una nueva función que se llama “función inversa” y se denota con f-1
Como se dijo, para que una función admita función inversa, debe serbiyectiva, aunque cabe decir que lo importante para que esta exista es que sea inyectiva, ya que para ser suprayectiva bastará considerar siempre que el codominio es igual al recorrido.



Ejercicio:



Función a fin:

Una función afín está definida por f(x)=mx+n, donde la variable es real, “m” y “n” son números reales. La representación gráfica de una función afín en el planocartesiano es una recta. La variable “m” representa la pendiente de la recta, la cual puede ser positiva (Figura 1) o negativa (Figura 2). La Variable “n” representa el corte con el eje “y”.


Hay casos especiales de la función afín que definen las rectas horizontales o verticales. Esto ocurre cuando no existe el término de la variable independiente (x) o cuando no existe el término de la variabledependiente (y)

Ejemplo:
Para graficar una recta en el plano cartesiano se necesita encontrar las coordenadas de dos puntos que pertenezcan a la recta, para ello se asignan valores arbitarios a la variable “x”, es decir, cualquier valor positivo o negativo, se recomienda “cero”, “uno para facilitar las operaciones algebraicas en el momento de la sustición del valor, para obtener el valor de la...