Funciones

Funciones
Una funci´on real de variable real es una aplicaci´on f : A ! B donde A,B son conjuntos de n´
umeros reales.
Domf = {x 2 R | f (x) 2 B}
Rango: El rango o imagen de la funci´
on f es un conjunto que se define como
Ranf = {f (x) | x 2 Domf }

1
Ejemplo: Encontrar el dominio y rango de la funci´on f (x) =
x 4
⇢
1
Soluci´on: Domf = x 2 X
2 R = ( 1, 4) [ (4, 1)
x 4
1
1
Obs:2 Domf ,
2 R , x 4 6= 0 , x 6= 4 , x 2 ( 1, 4) [ (4, 1)
x 4
x 4
Ranf = {f (x) | x 2 Domf } =
Tenemos que
y=

1

)

4

x

x

4=

1
y

⇢

1
x

4

x=

)

4y + 1
y

)

⇢

)

⇢
y

)

⇢
y

)

{y | y < 0} [ {y | y > 0} = ( 1, 0) [ (0, 1)

1
x

4

4y + 1
>4
y

⇢
= y

x 2 ( 1, 4) [ (4, 1)

⇢
S
4y + 1
0

S

⇢
y

4y + 1
y
=⇢
y

4y + 1
2 (4, 1)
y
4 0 tal que |f (x)|  k 8x 2 A
Funci´on Lineal
Es la aplicaci´
on lineal T : R ! R, es decir, se cumple
1) T (x + y) = T (x) + T (y)
2) T (↵x) = ↵T (x)

1

4>0

Funci´on Par
Una funci´on f : A ! B se dice que es par si f (x) = f ( x) 8x 2 R la gr´afica de una funci´on tal es
sim´etrica respecto al eje Y
Funci´on Impar
Una funci´on f : A ! B se dice quees impar si f (x) = f ( x) 8x 2 R la gr´afica de una funci´on tal es
sim´etrica respecto al origen
ejemplo Vamos a ver que pasa con la suma de funciones pares e impares
Suma de funciones pares
Sean f, g tal que ambas son funciones pares, entonces f + g es par
Demostraci´
on. (f + g)(x) = f (x) + g(x) = f ( x) + g( x) = (f + g)( x)
Suma de funciones impares
Sean f, g tal que f es funcionpar y g es funci´on impar, entonces f + g es impar
Demostraci´
on. (f + g)(x) = f (x) + g(x) =

f ( x)

g( x) =

(f ( x) + g( x)) =

(f + g)( x)

Suma de funciones par e impar
Sean f, g tal que f es funcion par y g es funci´on impar entonces f + g no es ni par ni impar
⇢
f + g( x)
P ar
Demostraci´
on. (f + g)(x) = f (x) + g(x) = f ( x) g( x)6=
(f + g))( x) Impar

Funci´on Peri´odica
Una funci´on f : A ! B se dice que es peri´odica si 9 T > 0 tal que f (x + T ) = f (x) 8x 2 A. El n´
umero
T es el periodo de la funci´
on
Funci´on Constante
Una funci´on f : A ! B se dice que es constante si f (x) = c 8x 2 A
Funci´on Identidad
Es una funci´
on f : A ! A tal que f (a) = a 8a 2 A
Funci´on Caracter´ıstica
Si S es un subconjunto de A se define en A una funci´onreal llamada funci´on caracter´ıstica del conjunto
S
⇢
1 x2S
XS : A ! R como XS (x) =
0 x2
/S
Composici´on de funciones
Sean f : A ! B g : B ! C entonces h : A ! C es la funci´on compuesta h = g f si se verifica
h(x) = (g f )(x) = g (f (x))

8x 2 A

Funci´on Inyectiva
Una funci´on f : A ! B se dice que es inyectiva ´o uno-uno si:
Dados

x1 , x2 2 Domf

tal

que

f (x1 ) = f (x2) ) x1 = x2

Funci´on Suprayectiva
Una funci´on f : A ! B se dice que es suprayectiva si:
8y 2 B

9x 2 A

tal
2

que

y = f (x)

Funci´on Biyectiva
Una funci´on f : A ! B se dice que es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva simultaneamente.
Ejemplo.- Sea f : N ! N dada por f (x) = 2x.
Para ver que f es inyectiva
Sean

x1 , x2 2 Domf

tal

que

f (x1 ) = f (x2 ) )2x1 = 2x2 ) x1 = x2

)

f

es inyectiva

Para ver que f es suprayectiva tenemos que f no es suprayectiva pues los elementos impares de N no
provienen de ningun x 2 N
Ahora bien si consideramos la misma funci´on pero ahora la definimos f : N ! P y f (x) = 2x
Por lo anterior f es inyectiva
Para ver que es suprayectiva teneoms que si y 2 P ) y = 2x ) y2 = x )
⇣y⌘
y
f (x) = f ( ) = 2
=y2
2
por lo tanto f es suprayectiva
Ejemplo.-Sea f : R ! R definida por f (x) = x3
Para ver que f es inyectiva
Sean x1 , x2 2 Domf tal que f (x1 ) = f (x2 ) es decir
x31 = x32 ) (x31
Si x1

x32 ) = 0 ) (x1

x2 ) x21 + x1 x2 + x

22 = 0 ) x1

x2 = 0

o x21 + x1 x2 + x22 = 0

x2 = 0 ) x1 = x2 , ahora bien si x21 + x1 x2 + x22 = 0 se tiene que
p
p
p !
x2 ± x22 4x22
x2 ±...