funciones

Teoría Elemental de Funciones 
 

Introducción 
 
Las funciones son los objetos fundamentales tratados en el cálculo y el análisis, con ellas podemos 
representar modelos matemáticos que describen situaciones reales. A pesar de la importancia del tema, 
el  término  función  es  un  concepto  relativamente  nuevo.  En  tiempos  antiguos  no  existía  un  término adecuado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades, aunque se tenía su idea 
intuitiva al realizar operaciones algebraicas. El término  función fue usado por primera vez en 1637 por el 
matemático  francés  René  Descartes  para  designar  una  potencia     de  la  variable  .  En  1694  el 
matemático  alemán  Gottfried  Wilhelm  Leibniz  utilizó  el  término  para  referirse  a  cualquier cantidad 
relacionada con una curva, como su pendiente o coordenadas. Cuarenta años más tarde, Leonhard Euler 
empleó  la  palabra  función  para  describir  cualquier  expresión  construida  con  una  variable  y  varias 
constantes,  fue  él  quien  introdujo  la  notación 
    .  No  fue  sino  hasta  finales  del  siglo  XVIII  y principios del XIX cuando se presentó la necesidad de fundamentar el desarrollo matemático en base a 
principios  lógicos.  Fue  en  ese  momento  cuando  los  matemáticos  europeos  empezaron  a  discutir  el 
concepto  formal  de  función.  Su  uso  más  generalizado  ha  sido  el  definido  en  1829  por  el  matemático 
alemán Peter Dirichlet. Dirichlet entendió la función como una variable  , llamada variable dependiente, cuyos valores únicos son fijados o determinados de una forma definida según los valores que se asignen a 
la  variable  independiente  ,  o  a  varias  variables  independientes  , , . . . , .  El  concepto  moderno  de 
función está relacionado con la idea de Dirichlet. La aparición de la teoría de conjuntos primero extendió, 
y luego alteró sustancialmente, el concepto de función. Aún hoy persiste la notación dada por Euler y se piensa de manera informal que una función de A en B es una regla o ley que a cada elemento 
 asocia 
un único elemento 
, done  A se llama conjunto de partida y  B conjunto de llegada. El concepto de 
función en las matemáticas de nuestros días es el mencionado en la definición que se da al inicio de este 
tema.  
 

Concepto, representación y clasificación de Funciones Definición de Función 
 

Sean A y B dos conjuntos no vacíos, y sea   una relación de A en B.    es una función o aplicación de un 
conjunto A en un conjunto B si satisface las siguientes condiciones: 
i
 
ii
 
 
,
 
iii
,
 
,
 
 

 

Las  condiciones  ii  y  iii  son  conocidas  como  las  condiciones  de  existencia  y  unicidad.  En  otras palabras, la función también puede definirse de la siguiente manera: 
 
1 
Matemática I: Lcdo. Álvaro Mendoza  

Sean A y B dos conjuntos no vacíos, y sea   una relación de A en B. Una función o aplicación de A en B 
es una terna ordenada  A,   , B  donde   es un subconjunto de A  B con la siguiente propiedad: para cada 
 existe un único elelmento    
 tal que  ,  
. 

 
 O bien, teniendo las mismas hipótesis, puede resumirse de la siguiente manera: 

 es una función o aplicación de A en B si y sólo si   es una relación entre A y B, tal que todo elemento 
de A tiene un único elemento en B. 

 
 
Al conjunto  A  se le  llama  dominio  y  al conjunto  B  se le  llama  codominio. Otra definición, mucho 
más sencilla a la hora de una demostración es: 
   
 
ó
,
,
,
 
,que es en lenguaje lógico la última definición enunciada como resumen. 
 
Notación  
 
 
Usualmente los signos que indican funciones son letras minúsculas cursivas como  , ,  aunque 
no  se  restringe  el  uso  de  otros  símbolos,  como  es  el  caso  las  funciones  usadas  en  física  y  cálculo.  Para 
denotar que   es una función de A en B se escribe  :
 y se lee “  es una función de A en B”. De forma ...