funciones

Juan Antonio González Mota

Profesor de Matemáticas

del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

FUNCIONES CONTINUAS.

La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus
gráficas una propiedad característica que es la continuidad.
La continuidad de una función definida en un intervalo significa que pequeñas
variaciones en el original x ocasionan pequeñasvariaciones en la imagen y y no un salto brusco
de su valor.
Intuitivamente esto significa una variación suave de la función sin saltos bruscos que
rompan la gráfica de la misma.
CONTINUIDAD DE UNA FUNCION EN UN PUNTO.
Una función es continua en un punto x = a si existe límite de la función en él y coincide
con el valor que toma la función en dicho punto, es decir:
f es continua en x = a

⇔lim f ( x ) = f (a )
x→a

La continuidad de una función f en el punto x = a implica que se cumplan las tres
condiciones siguientes:
1. Existe el límite de la función f(x) en x = a.
2. La función está definida en x = a; es decir, existe f(a)
3. Los dos valores anteriores coinciden.
Por tanto, una función puede dejar de ser continua en un punto por no cumplir alguna de
estas trescondiciones. En este caso (si no se cumple alguna de las condiciones) diremos que la
función es discontinua en dicho punto. En caso de que no se cumpla la segunda condición, la
función no estaría definida en el punto x = a y no podríamos hablar ni de continuidad ni
discontinuidad en dicho punto.

f no está definida
en x = a

FUNCIONES CONTINUAS

lím f ( x) ≠ f (a)
x→a

f no tiene límite
enx = a

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Juan Antonio González Mota

Ejemplos:

• La función f ( x ) =

Profesor de Matemáticas

del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

x+2
¿es continua en el punto x = 3?
x−2

Veamos si se cumplen las tres condiciones anteriores:
x + 2 3+ 2
=5
=
1. lim f ( x ) = lim
x →3
x →3 x − 2
3− 2
3+ 2
=5
2. f (3) =
3− 2
3. lim f ( x ) = f (3)
x→ 3

Por tanto, f(x) escontinua en el punto x = 3.
x2 − 1
• Dada la función f ( x ) = 2
, estudiar la continuidad de dicha función en x = 1.
x −x
Veamos si se cumplen las condiciones necesarias:
( x + 1) ⋅ ( x − 1)
x2 − 1
x +1 1+1
1. lim 2
= lim
= lim
=
=2
x →1 x − x
x →1
x →1
1
x ⋅ ( x − 1)
x
12 − 1
2. f (1) = 2
⇒ no existe, pues se anula el denominador.
1 −1
3. El lim f ( x ) y f (1) no soniguales porque f(1) no existe y, en consecuencia, no
x→1

se pueden comparar.
Por tanto, al no estar definida la función en el punto x = 1 no podemos hablar de la
continuidad en dicho punto.
⎧3x + 5 si x < −1
⎪
• Dada la función f ( x ) = ⎨− 2
si x = −1 , estudiar la continuidad de dicha función en
⎪3 + x si x > −1
⎩
x = −1

Seguiremos el mismo proceso que en los ejemplos anteriores:1. Estudiamos la existencia del lim f ( x).
x → −1

Como en el punto x = −1 la función experimenta un cambio de definición, para estudiar la
existencia de dicho límite, tendremos que calcular los límites laterales de la función en el
punto. Por tanto:
lim− f ( x ) = lim− (3x + 5) = 2
x →−1

x →−1

lim f ( x ) = lim+ (3 + x ) = 2

x →−1+

x →−1

En consecuencia, existe lim f ( x ) =2 pues los límites laterales son iguales.
x→−1

2. f (−1) = −2
3. lim f ( x ) ≠ f ( −1)
x→−1

Luego la función es discontinua en el punto x = −1.
FUNCIONES CONTINUAS

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Juan Antonio González Mota

• Dada la función

Profesor de Matemáticas

del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

⎧3x − 2 si x < 2
⎪
f ( x ) = ⎨5
si x = 2 , estudiar la continuidad de dicha función en
⎪3− x si x > 2
⎩

x = 2.

Seguiremos el mismo proceso que en los ejemplos anteriores:
1. Estudiamos la existencia del lim f ( x)
x→2

Como en el punto x = 2 la función experimenta un cambio de definición, para
estudiar la existencia de dicho límite, tendremos que calcular los límites laterales
de la función en el punto. Por tanto:
lim− f ( x ) = lim− (3x − 2) = 4
x→2

x→2

lim f (...