FUNCIONES

An
tioq
uia

Funciones

Instituto de Matem´aticas*
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Unviersidad de Anquioquia
Medell´ın, 25 de julio de 2011

1.

Introducci´
on

Un

ive

rsid

ad

de

El concepto matem´atico de funci´
on expresa la idea intuitiva acerca
de una cantidad (variable independiente, “valor de entrada”) que determina por completo a otra cantidad(variable dependiente, “valor de
salida”). Una funci´
on asigna a cada “valor de entrada” un u
´ nico “valor de salida”. Este tipo especial de relaci´
on lo podemos encontrar en
diversas situaciones de la vida diaria como por ejemplo en un supermercado, cuando a cada producto (variable independiente) se le asigna
su costo (variable dependiente).
Las funciones est´
an presentes en toda lamatem´atica y son esenciales para la formulaci´
on de relaciones f´ısicas que surgen en las ciencias
naturales.
¿Pero,
c´
o
mo
se lleg´o a esto?
Figura 1
Como t´ermino matem´atico, el concepto de funci´
on fue acu˜
nado
por Leibniz en una carta escrita en 1673 en la que relacionaba una cantidad a una curva. Las
funciones consideradas por Leibniz, actualmente se conocen como funcionesdiferenciables. En
1718 J. Bernoulli consider´
o una funci´
on como una expresi´on constituida de variables y constantes,
y Leonar Euler a mediados del siglo XVIII utiliz´o la palabra funci´
on para describir una expresi´on
o f´ormula que involucrara variables, constantes y operaciones matem´aticas que las relacionara.
A finales del siglo XIX se inici´
o un proceso de formalizaci´
on en lasmatem´aticas por medio del
concepto de conjunto y se atribuye al matem´atico alem´
an Johann Gustav Dirichlet (figura 1), la
introducci´on de la noci´
on moderna del concepto de funci´
on.
Las funciones generalizan la noci´
on com´
un de f´
ormula matem´
atica. Por medio de funciones se
establecen relaciones especiales entre elementos de conjuntos. Una funci´
on asocia a cada elemento
xde un conjunto, un u
´nico elemento f (x) de otro conjunto. Esto puede realizarse por medio de
una f´ormula, un diagrama de flechas, una regla de asociaci´
on, una tabla de datos, etc.
x
Los cient´ıficios e ingenieros utilizan modelos matem´
aticos con el objetivo de comprender y explicar fen´omenos y procesos que se presentan
en el mundo real. Un modelo matem´atico es una descripci´onmatem´atica
de un sistema. Los modelos matem´aticos emplean un tipo de formulismo matem´atico para expresar relaciones entre variables, par´
ametros y
f
entidades.
Las relaciones que se plantean en un modelo matem´atico se enuncian por medio de funciones. La idea de funci´
on que m´as adelante en la
f (x )
atisecci´
on (3) te presentaremos en detalle, la podemos ilustrar esquem´
camente comose muestra en la figura: la funci´
on f la podemos considerar como una “m´
aquina”
en la cual un objeto x de un conjunto X es transformado en un objeto f (x) de un conjunto Y .
Antes de iniciar el estudio de las funciones, presentaremos algunas ideas relacionadas con la
informaci´on que por medio de gr´
aficas una ecuaci´
on nos puede proporcionar.
* Esta

obra es distribuida bajo unalicencia Creative Commons Atribuci´
on - No comercial 2.5 Colombia.

1

2

2.

Gr´
aficas de ecuaciones

An
tioq
uia

Instituto de Matem´
aticas, Universidad de Antioquia

Aunque en los ejemplos vistos en el taller 3, las ecuaciones resueltas involucraban s´olo una
variable, existe una gran variedad de situaciones donde dos o m´as variables se relacionan por
medio de unaecuaci´
on.
En ocasiones, la informaci´
on num´erica contenida en una ecuaci´
on resulta m´as ilustrativa cuando
se presenta por medio de gr´
aficas.

2.1.

Plano coordenado

En el taller 1 vimos que cada punto de la recta representa un n´
umero real y rec´ıprocamente, a
cada n´
umero real le corresponde un punto de la recta.

R

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4...