funciones

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FUNCIONES

2.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES
Una función es una correspondencia entre dos conjuntos x e y, tal que a cada valor de x corresponde exactamente un valor de y. También una función describe la manera en que el valor de
una variable depende de la otra.
Por ejemplo, si se tiene la relación y = 2 x + 3 y se hace una pequeña tabulación se obtiene
la siguiente tabla:
x

01

2

3

4

5

6

7

8

9

y

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

la cual también se puede representar con el siguiente diagrama de conjuntos:

x

y

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
figura 2.1

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FUNCIONES

En la figura 2.1 se puede observar que a cada valor del conjunto x le corresponde un solovalor del conjunto y, por lo tanto se trata de una función. Se dice que la variable y es una función de la variable x, lo cual se escribe y = f ( x ) y se lee: ye igual a efe de equis. Nótese que
el paréntesis no indica una multiplicación de efe por equis; el paréntesis no siempre indica multiplicación, como en este caso.
En el ejemplo anterior, si y = 2 x + 3 y además y = f ( x ) , entonces f ( x) = 2 x + 3 .
En cambio, el siguiente diagrama de conjuntos (figura 2.2) representa una relación entre ellos
que no es función, ya que al valor x = 1 le corresponden dos valores de y.
x

y

0
1
2
3
4
5

2
3
5
7
11
figura 2.2

Cuando no es función, por lo menos para un valor de equis le corresponden mínimo dos valores de y , Lo anterior se puede probar gráficamente con lallamada regla de la recta vertical.
Consiste en trazar cualquier recta vertical y si en alguna parte toca a la gráfica en más de un punto, significa que no es función. El inverso se cumple, o sea, si cualquier recta vertical toca a la
gráfica en un solo punto es que sí es función.
Ejemplo 1:

Investigar por medio de su
gráfica si y = x 2 + 2 es o no
función.

Solución:

La gráficacorrespondiente a

y = x 2 + 2 es la mostrada en
la figura 2.3. Si se traza cualquier recta vertical, ésta corta
a la parábola en un solo punto,
por lo tanto sí es función.
figura 2.3

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FUNCIONES

Ejemplo 2:

Investigar por medio de su gráfica
si x = y 2 − 3 es o no función.

Solución:

La

gráfica

correspondiente

a

x = y − 3 es la mostrada en la
2

figura 2.4.Si se traza cualquier
recta vertical, hay por lo menos
una que corta a la parábola en dos
puntos, por lo tanto no es función.

figura 2.4

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FUNCIONES

EJERCICIO 6
Suponiendo que cada una de las siguientes 12 gráficas corresponden a una ecuación, determinar por el
método de la recta vertical si son o no funciones.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)11)

12)

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2.2 EVALUACIÓN DE FUNCIONES
La parte más práctica de la definición de una función es la que dice que describe la manera
en que el valor de una variable (casi siempre la y ) depende de la otra (casi siempre la x ). En
otras palabras, enuncia una especie de regla de las operaciones que deben hacerse con lo que está
entre paréntesis.
Por ejemplo, si f (x ) = 2 x + 3 , la f indica que a lo que está entre paréntesis (la x ) hay que
multiplicarlo por 2 y luego sumarle 3, de tal manera que f ( 5 ) significa que al 5 (que es lo que
está entre paréntesis) hay que multiplicarlo por 2 y luego sumarle 3, es decir que

f (5) = 2 (5) + 3

f ( 5 ) = 13

Ejemplo 1:
Solución:

Si f ( x ) = 3 x 2 + x + 1 , evaluar f (10 ) .
La f indica que lasoperaciones que deben hacerse son: al triple del cuadrado de lo que
está entre paréntesis (la equis) sumarle lo que está entre paréntesis más 1. Entonces, como
en f (10 ) lo que ahora está entre paréntesis es el 10, las operaciones que deben hacerse
son: al triple del cuadrado de 10 sumarle 10 más 1, esto es:

f (10 ) = 3 (10 ) + 10 + 1
2

f (10 ) = 311

Ejemplo 2:
Solución:

Si f ( x...