Funciones

FUNCIONES IMPLÍCITAS
Una curva C contenida en

Profesora Claudia Durnbeck

puede estar definida por una ecuación:
forma explícita
forma implícita

ó

En muchos casos se puede pasar de unaforma a otra, pero algunas veces esto no es
posible, o no siempre
representa a la función implícita de
.
Por ejemplo cuando:
a)
representa la forma implícita a una
.
Ej:
representaimplícitamente a
b)

es la forma implícita de más de una función de x.
representa implícitamente a:
ya

Ej:

c)
implícita.

no es función implícita de alguna
Ej:

, es decir

la función

porser suma de términos positivos no se anula para

ningún

Interpretación geométrica de los ejemplos anteriores:
a) La función:
tiene como representación gráfica un plano, cuya
intersección cones la recta:

z

4

y

+4
y = -2x
2
z=0

x

b) La función:
tiene por gráfica un paraboloide de revolución, cuya
intersección con
es la circunferencia
. Esta ecuación representa
alas 2 funciones que representa
en forma implícita:

z

-x
-2

-2

-y

2

y2
2

x

y

y1

-4

-z

c) La función:
es un paraboloide que no tiene intersección con
porque
lafunción implícita.
z

y

x

,

Teorema de Dini
Existencia de la Función Implícita de una variable independiente.
define implícitamente a
condiciones:
1°)

, si se verifican lassiguientes

(La función debe anularse al menos en un punto del dominio)

2°)

posee derivadas parciales continuas en un entorno de

3)

.

(La derivada parcial con respecto a la variabledependiente debe ser
distinta a cero)

Derivada de la Función Implícita de una variable independiente.
En las condiciones del teorema anterior, la función
implícitamente a la función
cuya derivada es:Demostración:
Si
se verifica para
ecuación)

(

define

satisface la

Derivando ambos miembros (como función compuesta), tenemos:
despejando

Ejemplo: Dada la siguiente función:...