Funciones

DESARROLLO

1. Función
Una función entre dos conjuntos A y B (f. A B) es cualquier relación que asigne a todos y cada uno de los elementos de A (pre imágenes) uno sólo uno de los elementos de B (imágenes). Las funciones se caracterizan entonces en por el hecho de que todos los elementos del conjunto de partida están relacionados y además cada uno de ellos posee solo una imagenen el conjunto de llegada. Vale la pena destacar que toda función es una relación pero no toda relación en función.
Así, en la figura siguiente podemos observar gráficamente el comportamiento de la función raíz cuadrada de un número.
Del lado izquierdo observamos el conjunto de partida (representado por los valores que le asignemos a la variable independiente “X”), del lado derechoobservamos el conjunto de llegada (representado por los valores que toma la variable dependiente “Y” una vez que se extrae la raíz cuadrada del valor que se le asignó a “X”) y sobre la flecha está indicada la relación matemática (función) que transforma los valores del conjunto de partida en los valores del conjunto de llegada.












Dominio y Rango deuna función:
Se entiende por el dominio de una función (Dom f) el conjunto por los elementos del conjunto de partida que poseen imagen en el cojunto de llegada. Lo primero que hay que estudiar en una función es su dominio, o conjunto de valores x para los cuales f(x) existe o está definida:
Dom f=xR:  y=f(x)}

Como ya sabemos, para que una relación pueda ser función,siempre será necesario excluir del cojunto de partida aquellos elementos que no posean imagen, a fin de asegurar el cumplimiento de la condición de existencia. Esto equivale a afirmar que en las funciones para que puedan ser consideradas como tales, el dominio siempre deberá coincidir con el conjunto de partida.

El rango de una función (Rgo f) se define como el cojunto formado por loselementos del cojunto de partida.
Rgo f=y B/x^ y=f(x)}
El rango será, por tanto, un subcojunto del cojunto de llegada. Es decir, Rgo F < B.

Ejemplo 1
Dada la función h, definida como:
h = {(3,6), (5,2), (9,2), (7,5), (1,6), (8,0)}
Determinar su dominio y Rango:
Su dominio es: Dom h= {3,5,9,7,1,8}
Su Rango es: Rgo h={6,2,5,0}

Ejemplo 2
Determinar Dominio y Rango de
f(x) = X + 3
Como es una función lineal el dominio será todo el conjunto de los números reales.
Dom f(x) = R



El Rango será todo el conjunto de los números reales. Seguimos el eje “Y” de abajo hacia arriba y podemos leer valores siempre.
Rango = (– ∞ , + ∞ )

2. Función Valor Absoluto
La funciónde valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula. 
En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo. Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos otrozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos:
1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces (los valores de x).
2. Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo.
3. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de lafunción.
4. Representamos la función resultante.
Ejemplo










3. Función Cuadrática
Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:
f(x) = ax2 + bx + c
Donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El...