Funciones

Funciones Importantes y sus Gráficas

Representación de una función:
La representación gráfica de una función permite visualizar de un modo claro y preciso su comportamiento.
Una función f asigna a cada número x del conjunto origen, un número y = f(x) del conjunto imagen.
El conjunto de los pares de números (x, y) determinados por la función recibe el nombre de grafo de la función.
Paraobtener los pares basta con dar valores a la variable independiente x, y obtener los correspondientes de la variable dependiente y, formando así una tabla de valores de la función.
Una vez obtenidos los pares de números, se representan en un sistema de ejes cartesianos, que consiste en dos ejes perpendiculares que se cortan en un punto, llamado origen de coordenadas, y representado por O; el ejehorizontal recibe el nombre de eje de abscisas, y en él se representan los valores de la variable independiente; el eje vertical recibe el nombre de eje de ordenadas, y en él se representan los valores de la variable dependiente. Cada par de números corresponde a un punto del plano. Uniendo todos los puntos, se obtiene la gráfica de la función.

Algunas funciones importantes y sus gráficas.1. Función constante f(x)=k

2. Función idéntica f(x)=x

3. Función simétrica f(x)= -x

4. Función lineal f(x)=mx + b

5. Función cuadrática f(x)=ax2+bx+c

Si a > 0 se abre hacia arriba

Si a < 0 se abre hacia abajo

[pic]
b2- 4ac + 4ay ( 0

4ay ( 4ac – b2[pic]
6. Función valor absoluto f(x) = |x|

x si x ( 0

Definición |x|=

-x si x < 0

7. Función Raíz cuadrada f(x)=[pic]

x si x ( 0 Df: (+ ( {0}
[pic] [pic]=|x|
-x si x < 0 Rf: (

8. Función mayor entero f(x)=[|x|]
Asocia a cada x el mayor entero menor oigual que él mismo.

9. Función signo f(x)=sgn(x)
Asocia a todos los números positivos con el 1, al 0 con el 0 y a los negativos con el –1.

1 si x > 0
sgn(x) 0 si x = 0
-1 si x ( 0

Ejemplo:

Un fabricante puede producir grabadoras a un costo de US$10 cada una. Se estima que si éstas se venden a x dólares cada una, los usuarios comprarán 80 – x grabadorasal mes. Exprese la utilidad mensual del fabricante como una función del precio, elabore la gráfica de esta función y utilícela para calcular el precio óptimo de venta.

Solución:
Utilidad= (cantidad d radios vendidos)(utilidad con radio)
Matemáticamente sería:
Cantidad de radios vendidos = 80 - x
Utilidad por radio = x - 10
Si P(x)= es la utilidad, se concluye que:

P(x)= ( 80 – x )( x –10 )= -x2+ 90x - 800
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