Funciones

CAPÍTULO

2
Funciones

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2.6 Tipos de funciones
Definimos ahora algunos tipos de funciones que tienen comportamientos muy particulares y que son importantes en el estudio del cálculo.

2.6.1 Funciones monótonas
Una función es monótona creciente si x1 < x2 .2 Df / ) f .x1 / < f .x2 /.
y

f .x2 /

f .x1 /

x x1 x2

Al ir de izquierda a derecha, la gráfica de una función crecienteva de abajo hacia arriba. Una función es monótona decreciente si x1 < x2 .2 Df / ) f .x1 / > f .x2 /.
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canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008

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y

Cálculo Diferencial e Integral I

f .x1 /

f .x2 /

x x1 x2

Al ir de izquierda a derecha, la gráfica de una función decreciente va de arriba hacia abajo. Si x1 < x2 .2 Df / ) f .x1 / Ä f .x2 /, la función es monótona no decreciente.
yf .x2 / f .x1 /

x x1 x2

Al ir de izquierda a derecha, la gráfica de una función no decreciente no baja (donde es constante). Si x1 < x2 .2 Df / ) f .x1 / f .x2 /, la función es monótona no creciente.
y

f .x1 / f .x2 /

x x1 x2

Al ir de izquierda a derecha, la gráfica de una función no creciente no sube (donde es constante).

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2.6 Tipos de funciones

3

Una función esmonótona por partes si se puede partir su dominio de manera que en cada una de las partes la función sea monótona.
y

ie n

c

Crec

d

Crecien te
x

e ent reci D ec

te

a

b

Vemos que la función anterior es: 1. Creciente en . 1; a/. 3. Constante en .a; b/. 4. No creciente .a; c/. 5. Decreciente en .b; c/. 6. No creciente en .b; d /. 7. Constante en .c; d /. 8. No decrecienteen .c; C1/. 9. Creciente en .d; C1/. 2. No decreciente en . 1; b/.

2.6.2 Funciones pares e impares
El dominio de una función f es simétrico con respecto al origen, cuando satisface: x 2 Df ) f es par si f . x/ D f .x/. x 2 Df :

Si suponemos que f cumple esta condición, entonces: Recordemos que dos puntos son simétricos respecto a una recta si éta es la mediatriz del segmento que ellosdeterminan.
A
¡

l

A

 

3

4

Cálculo Diferencial e Integral I Los puntos A y A son simétricos con respecto al eje l. La recta l es la mediatriz del segmento AA . Que un conjunto de puntos sea simétrico con respecto a un punto (llamado centro de simetría) quiere decir que está constituido por parejas de puntos simétricos con respecto a tal centro de simetría. La gráfica de una funciónpar es simétrica con respecto al eje y, es decir, está constituida por parejas de puntos simétricos con respecto al eje y pues si una función es par y un punto .a; b/ 2 Gf , entonces otro punto de la gráfica de f es . a; b/.

Ejemplo 2.6.1 f .x/ D x 2 C 1 es par ya que f . x/ D . x/2 C 1 D x 2 C 1 D f .x/. H
y f .x/ D x 2 C 1

f .a/ D f . a/

x a a

Si x D 2, entonces f .2/ D f . 2/ D 5.Ejemplo 2.6.2 Las siguientes funciones son pares: H
y y

x

x

4

2.6 Tipos de funciones f es impar si f . x/ D f .x/.

5

La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen .0; 0/.

Si una función es impar y un punto .a; b/ 2 Gf , entonces otro punto de la gráfica de f es . a; b/ que es el simétrico de .a; b/ respecto al origen.

Ejemplo 2.6.3 f .x/ D x 3 es impar yaque f . x/ D . x/3 D x 3 D f .x/. H
y f .x/ D x 3

f .a/ D a

f . a/

x a

Si x D 3, entonces f . 3/ D . 3/3 D

27 D f .3/.

Ejemplo 2.6.4 Las siguientes funciones son impares: H
y y

x x

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Cálculo Diferencial e Integral I

2.6.3 Función lineal
Una función f es lineal si es de la forma f .x/ D mx C b con m & b 2 R . Su dominio son todos los reales. Su gráfica es unalínea recta de pendiente m y ordenada en el origen b. b Si m ¤ 0, la única raíz de f .x/ D mx C b es x D ya que m f .x/ D 0 , mx C b D 0 , x D b : m

1. Si m D 0, diremos que f .x/ D b es constante, su rango consta de un solo número: f b g. Su gráfica es una recta paralela al eje de las x que pasa por el punto .0; b/. Ejemplo 2.6.5 Si f .x/ D 5, entonces Df D R & Rf D f 5 g. H La gráfica de y D...