Funciones
Páginas: 16 (3939 palabras)
Publicado: 8 de febrero de 2013
Universidad Andr´s Bello e Departamento de Matem´ticas a Facultad de Ingenieria y Construcci´n Civil. o FMM 030 - C´lculo I. a Coord. Pablo Gonz´lez Lever a
GUIA FUNCIONES 1er Semestre, 2005
1. Determine el dominio de cada una de las siguientes funciones (a) f (x) = 4x2 − 6 3 (b) f (x) = x−1 (c) f (x) = (d) f (x) = (e) f (x) = (f) f (t) =
3
1 − x2 1+ x2 1 − x2
x2 − x
4 − t2 2t2 −7t − 4 x2 − 3x + 2 (g) f (x) = x2 − 4 2. Sea f ⊆ A x = {(2, 5a+2), (4, a), (4, 2a+1), (7, 2a2 −1)} una relaci´n donde A = {2, 4, 7}. Determine o a ∈ para que f sea una funci´n. o o o 3. Demuestre que la relaci´n f ⊆ R x R = {(x, y)/2x + 3y} es una funci´n. 4. Considere las funciones f (x) = 9x + 7 y g(x) = x2 − x, determine f (2 + h) − f (2) h g(x) − g(4) (b) x−4 (c) f (g(x)) − g(f (x)) (a) (d) f(g(1)) − g(f (−2)) 5. Suponga que f (b) = ab2 + a2 b, calcule f (ab) y f (a). 6. Determinar funciones f y g, tales que h(x) = f (g(x)) para cada uno de los siguientes casos (a) h(x) = (4x − 3)2 √ (b) h(x) = x2 − 2 1 (c) h(x) = 2 x −1 (d) h(x) = (x − 1)3 + 3(x − 1)2 + x − 2 7. Considere las funciones f : R → R, g : R → R tal que f (x + 1) = 2x + 5, g(x) = 3x − 2. Determine (f ◦ g)(x).
8. si f :A ⊆ R → B ⊆ R es una funci´n tal que f (x + 5)= o
4 la relaci´n (f −1 ◦ f )( x ) = 2 o
1 , determine el valor de x que satisface x+2
1 9. Sean f (x) = 2 (ax + a−x ) y g(x) = 1 (ax − a−x ). Demuestre que f (x + y) = f (x)f (y) + g(x)g(y) 2
10. Si f (x) =
1 , hallar f {f [f (x)]}. 1−x
11. Dados a , b, c , d , reales, f y g son polinomios definidos por f (x) = ax + b ; g(x) = cx + d.Encuentre la condicion necesaria y suficiente de los coeficientes a , b, c , d, para que se tenga que : (f ◦g) = (g ◦f ). a 12. Graficar las siguientes funciones cuadr´ticas (a) f (x) = (4x − 3)2 (b) f (x) = 2x2 − 3x + 4 (c) f (x) = −3x2 + 2x + 1 (d) f (x) = (x − 3)(2 − x) 13. Dada la funci´n o 1−x x−2 3x + 1 4 si x < 2 si x ≥ 2
f (x) =
Determine
f (−2) + 3f (7) f (5) + (fof )(0)
e o 14. Grafique las siguientes funciones definidas por ramas e indique en qu´ intervalos la funci´n es positiva, negativa, creciente y decreciente (a) f (x) = (b) f (x) = 2 si 0 ≤ x ≤ 4 3x si x > 4 2x + 1 si − 1 ≤ x < 2 9 − x2 si x ≥ 2
x + 1 si 0 ≤ x < 3 4 si 3 ≤ x ≤ 5 (c) f (x) = x − 1 si x > 5 15. Considere la funci´n definida por o
2 x + 7 si x ≤ −1 1 f (x) = si − 1
(a) Encuentre la ecuaci´n de la recta que pasa por (2, f (2)) y que tiene pendiente ”3”. o (b) Encuentre f (f (−2)).
16. Sea f (x) =
(a − 1)x − 1 . Determine el valor de a ∈ R tal que la imagen de ”1” sea ”1/5”. ax + 2
17. Dadas las siguientes funciones, encuentre los dominios y recorridos adecuados de modo que sean biyectivas x+3 2x − 1 (b) f (x) = x2 − 1(a) f (x) = (c) f (x) = 4x + 1 √ (d) f (x) = x + 1 18. Sea A = R − − 1 2 ; B = R− x−3 2x + 1 1 2 ; f : A → B ; pruebe que f es inyectiva y epiyectiva. Hallar f −1
sabiendo que f (x) =
APLICACIONES
19. Una ventana tiene la forma de un rectangulo con un remate semicircular. El per´ ımetro de la ventana es de 15 metros. Si r es el radio del semicirculo, exprese el ´rea de la ventana en funci´ndel radio. a o 20. Un dep´sito de agua tiene la forma de un cono circular recto con 4 metros de radio y 15 metros de o altura. El dep´sito est´ lleno hasta una profundidad de h metros. Si r es el radio del c´ o a ırculo en la parte superior del nivel del agua. Exprese la altura h en funci´n del radio r y luego exprese el volumen o del agua en funci´n del radio, indicando el dominio de la funci´n.o o 21. Un alambre de longitud 50 cm, se debe cortar en dos pedazos; uno de longitud x para construir un cuadrado y con el resto construir un c´ ırculo. Expresar en funci´n de x , el ´rea encerrada por ambas o a figuras, indicando el dominio de la funci´n. o 22. Una caja rectangular cerrada mide x cm. de ancho y el doble de largo. Si h es la altura de la caja y el ´rea total de la caja mide 120...
GUIA FUNCIONES 1er Semestre, 2005
1. Determine el dominio de cada una de las siguientes funciones (a) f (x) = 4x2 − 6 3 (b) f (x) = x−1 (c) f (x) = (d) f (x) = (e) f (x) = (f) f (t) =
3
1 − x2 1+ x2 1 − x2
x2 − x
4 − t2 2t2 −7t − 4 x2 − 3x + 2 (g) f (x) = x2 − 4 2. Sea f ⊆ A x = {(2, 5a+2), (4, a), (4, 2a+1), (7, 2a2 −1)} una relaci´n donde A = {2, 4, 7}. Determine o a ∈ para que f sea una funci´n. o o o 3. Demuestre que la relaci´n f ⊆ R x R = {(x, y)/2x + 3y} es una funci´n. 4. Considere las funciones f (x) = 9x + 7 y g(x) = x2 − x, determine f (2 + h) − f (2) h g(x) − g(4) (b) x−4 (c) f (g(x)) − g(f (x)) (a) (d) f(g(1)) − g(f (−2)) 5. Suponga que f (b) = ab2 + a2 b, calcule f (ab) y f (a). 6. Determinar funciones f y g, tales que h(x) = f (g(x)) para cada uno de los siguientes casos (a) h(x) = (4x − 3)2 √ (b) h(x) = x2 − 2 1 (c) h(x) = 2 x −1 (d) h(x) = (x − 1)3 + 3(x − 1)2 + x − 2 7. Considere las funciones f : R → R, g : R → R tal que f (x + 1) = 2x + 5, g(x) = 3x − 2. Determine (f ◦ g)(x).
8. si f :A ⊆ R → B ⊆ R es una funci´n tal que f (x + 5)= o
4 la relaci´n (f −1 ◦ f )( x ) = 2 o
1 , determine el valor de x que satisface x+2
1 9. Sean f (x) = 2 (ax + a−x ) y g(x) = 1 (ax − a−x ). Demuestre que f (x + y) = f (x)f (y) + g(x)g(y) 2
10. Si f (x) =
1 , hallar f {f [f (x)]}. 1−x
11. Dados a , b, c , d , reales, f y g son polinomios definidos por f (x) = ax + b ; g(x) = cx + d.Encuentre la condicion necesaria y suficiente de los coeficientes a , b, c , d, para que se tenga que : (f ◦g) = (g ◦f ). a 12. Graficar las siguientes funciones cuadr´ticas (a) f (x) = (4x − 3)2 (b) f (x) = 2x2 − 3x + 4 (c) f (x) = −3x2 + 2x + 1 (d) f (x) = (x − 3)(2 − x) 13. Dada la funci´n o 1−x x−2 3x + 1 4 si x < 2 si x ≥ 2
f (x) =
Determine
f (−2) + 3f (7) f (5) + (fof )(0)
e o 14. Grafique las siguientes funciones definidas por ramas e indique en qu´ intervalos la funci´n es positiva, negativa, creciente y decreciente (a) f (x) = (b) f (x) = 2 si 0 ≤ x ≤ 4 3x si x > 4 2x + 1 si − 1 ≤ x < 2 9 − x2 si x ≥ 2
x + 1 si 0 ≤ x < 3 4 si 3 ≤ x ≤ 5 (c) f (x) = x − 1 si x > 5 15. Considere la funci´n definida por o
2 x + 7 si x ≤ −1 1 f (x) = si − 1
(a) Encuentre la ecuaci´n de la recta que pasa por (2, f (2)) y que tiene pendiente ”3”. o (b) Encuentre f (f (−2)).
16. Sea f (x) =
(a − 1)x − 1 . Determine el valor de a ∈ R tal que la imagen de ”1” sea ”1/5”. ax + 2
17. Dadas las siguientes funciones, encuentre los dominios y recorridos adecuados de modo que sean biyectivas x+3 2x − 1 (b) f (x) = x2 − 1(a) f (x) = (c) f (x) = 4x + 1 √ (d) f (x) = x + 1 18. Sea A = R − − 1 2 ; B = R− x−3 2x + 1 1 2 ; f : A → B ; pruebe que f es inyectiva y epiyectiva. Hallar f −1
sabiendo que f (x) =
APLICACIONES
19. Una ventana tiene la forma de un rectangulo con un remate semicircular. El per´ ımetro de la ventana es de 15 metros. Si r es el radio del semicirculo, exprese el ´rea de la ventana en funci´ndel radio. a o 20. Un dep´sito de agua tiene la forma de un cono circular recto con 4 metros de radio y 15 metros de o altura. El dep´sito est´ lleno hasta una profundidad de h metros. Si r es el radio del c´ o a ırculo en la parte superior del nivel del agua. Exprese la altura h en funci´n del radio r y luego exprese el volumen o del agua en funci´n del radio, indicando el dominio de la funci´n.o o 21. Un alambre de longitud 50 cm, se debe cortar en dos pedazos; uno de longitud x para construir un cuadrado y con el resto construir un c´ ırculo. Expresar en funci´n de x , el ´rea encerrada por ambas o a figuras, indicando el dominio de la funci´n. o 22. Una caja rectangular cerrada mide x cm. de ancho y el doble de largo. Si h es la altura de la caja y el ´rea total de la caja mide 120...
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