Funciones

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

Capítulo I
INTRODUCCIÓN

Funciones

Uno de los conceptos de mayor importancia y trascendencia en las matemáticas es el de función, que constituye una herramienta fundamental e indispensable en el quehacer de quienes, como el ingeniero, deben representar con modelos diversos fenómenos de la naturaleza, con la finalidad de interpretarlos,manejarlos, modificarlos y utilizarlos para el mejoramiento de la calidad de la vida. CONCEPTOS PRELIMINARES Conjuntos numéricos Conjunto de números naturales. Se denota con y está formado por todos los números que se utilizan para contar. = {1 ,2,3,4,5,…} Como se observa, se trata de un conjunto no finito, es decir, que contiene un número infinito de elementos. Conjunto de números enteros. Se denota cony está formado por todos aquellos números que son el resultado de la diferencia de dos números naturales. Como se observa, ⊂ . = {p p = m − n ; m, n ∈ } o, en forma explícita,
= {… , −4, −3, −2, −1 ,2,3,4,…} ,0,1

y está Conjunto de número racionales. Se denota con formado por todos los números que pueden ser expresados como el cociente de dos enteros. p ⎧ ⎫ = ⎨r r = ; p, q ∈ ; q ≠ 0 ⎬ q ⎩ ⎭
ING,PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

2

Estos números tienen dos formas de expresarse, como cociente y como decimal. Por ejemplo, 4 cociente: ; decimal: 0.8 5 Además, en la forma de cociente su expresión no es única sino que existe un número infinito de expresiones. Por ejemplo, 2 4 8 16 32 = = = = = 3 6 12 24 48 La expresión decimal de un número racional es siempre periódica, esto es, que uno o un grupo dedígitos (marcados con testa) se repiten indefinidamente a la derecha del punto decimal. Considérense los siguientes ejemplos: 2 5 = 0.4 = 0.4000... = 0.40 ; = 0.4545... = 0.45 5 11 −7 = −7.000... = −7.0 Los números enteros y los naturales son racionales, ya que basta con dividirlos entre la unidad para expresarlos de la p . forma q Conjunto de números irracionales. Se denota con Ι y está formado porlos números que no pueden expresarse en forma decimal periódica. Algunos ejemplos son: 2 = 1.414213562... − 7 = −2.645751311... π = 3.141592654... e = 2.718281828... Conjunto de número reales. Se denota con y está formado por los números racionales y por los irracionales. A cada número real le corresponde un punto de la recta numérica y viceversa, lo que se ilustra como:

−π

−2 −1.09

0

1

e3.750
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3

En el siguiente esquema se presenta la clasificación de los números reales: ⎧ ⎧ Naturales ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ cero ⎪Enteros ⎨ ⎪Racionales ⎪ ⎨ ⎪Enteros negativos Reales ⎨ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ Fracionarios ⎩ ⎪ ⎪ Irracionales ⎩ La recta y = mx + b y
m = tanα

α
y

b

y = mx + b

x

P ( x1, y1 )

y − y1 =

y 2 − y1 ( x − x1 ) x2 − x1

x
Q ( x2 , y 2 )

Las cónicas Circunferencia.

( x − h)k
O

2

y

+ (y − k ) = r 2
2

r
C

h

x

Parábola. ( y − k ) = 4 p ( x − h)
2
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

y

4

k

V h
p

F

x

( x − h)

2

= 4p ( y − k )

y

p

F k
2

V h

x

Elipse.

( x − h)
a2

2

(y − k) +
b2

=1

y

F1 k

C

F2

b

h
c
a

x

(y − k)
a2

2

( x − h) +
b2

2

=1

y F1
a

h
C

x

k

c

F2
y
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Hipérbola.

( x − h)
a2

2

−

(y − k)
b2 y a

5
2

=1c

F1

V1

k

C

V2

F2 x

h

(y − k)
a2

2

( x − h) −
b2

2

=1
y

F1 V1 k
C

a

h V2
F2

c

x

Variables En matemáticas las magnitudes constantes y variables son de suma importancia y generalmente se habla de ellas independientemente de su significado físico. Intervalos de variación

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

Considérese el eje numérico de las abscisas, con " x " como magnitud variable, y ados valores de " x " , a y b , tales que a < b . Se llama intervalo abierto al conjunto de todos los números reales mayores que " a " y menores que " b " . Este intervalo se denota con ( a, b ) y se expresa como:

6

( a, b ) = {x x ∈
(

; a < x < b}

Estos valores se ubicarían en la recta numérica como se observa en la figura
b Se llama intervalo cerrado, denotado con a
)
x

[a, b] , al...