Funciones

MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES

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FUNCIONES A. Introducción teórica A.1. Definición de función A.2. Dominio y recorrido de una función, f(x) A.3. Crecimiento y decrecimiento de una función en un intervalo A.4. Funciones polinómicas A.5. Otros tipos de funciones A.6. Composición de funciones A.7. Función inversa: B. Ejercicios resueltos B.1. Estudia el dominio de cadauna de las siguientes funciones: B.2. Halla la inversa de cada una de las siguientes funciones B.3. Halla la variación y la tasa de variación media de cada una de las siguientes funciones B.4. Estudia la simetría de cada una de las siguientes funciones B.5. Representa cada una de las siguientes funciones

A. Introducción teórica

A.1. Definición de función Una función es una relación entre dosvariables numéricas, x e y, de forma que a cada valor de x le corresponde un solo valor de y. La variable x se llama variable independiente. La variable y se llama variable dependiente A.2. Dominio y recorrido de una función, f(x) Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f) Se llama recorrido o imagen de una función f(x)a todos los valores que puede tomar f(x). La imagen se denota como Im(f)

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A.3. Crecimiento y decrecimiento de una función en un intervalo Una función f(x) es creciente en un intervalo (a,b) cuando para dos puntos cualquiera x 1 y x 2 pertenecientes a (a,b) tales que x 1 < x 2 se cumple: f(x1 ) < f(x 2 ) Una función f(x) es decreciente enun intervalo (a,b) cuando para dos puntos cualquiera x 1 y x 2 pertenecientes a (a,b) tales que x 1 < x 2 se cumple: f(x1 ) > f(x 2 )
A.4. Funciones polinómicas a) Función polinómica de grado uno: es de la forma y=ax+b Para representarlas se siguen los siguiente pasos:
• • •

Hacemos una tabla de valores. A partir de ella extraemos dos puntos. Representamos los puntos en un plano cartesiano.b) Función polinómica de grado dos: es de la forma y= ax2+bx+c Para representarlas se siguen los siguiente pasos:
•

Obtención de los puntos de corte con el eje x: Se obtienen a partir de la condición y=0. En ese caso:

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ax 2 + bx + c = 0 ⇒ x =
•

 −b ± b2 − 4ac x = x 1 ⇒  x = x 2 2a  

Obtención de las coordenadas delvértice: Están dadas por x = −
b −b 2 + 4ac ; y= . 2a 4a

Orientación de la parábola: Si a>0, entonces la parábola es cóncava hacia arriba, mientras que si a 0 a x+b

A.6. Composición de funciones Sean dos funciones f(x) y g(x). La composición de f con g se define como (f g )(x) = f g (x)

A.7. Función inversa: Sea la función f (x) . La inversa de f (x) se define como f −1 (x) . Para hallarla inversa hay que dar una serie de pasos: a) Estudiamos si f es inyectiva, es decir si la función f toma valores distintos para puntos distintos:

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f (x 1 ) = f ( x 2 ) ⇔ x 1 = x 2
b) En la ecuación y = f (x) despejamos la variable x. c) Finalmente intercambiamos la variable x por la y para obtener f −1 ( x ) .

B. Ejercicios resueltosB.1. Estudia el dominio de cada una de las siguientes funciones:
1 x+2

1. f(x) =

Solución: El Dom(f) está dado por el conjunto de los valores de x para los que f(x) existe. Esta función no tiene sentido cuando el denominador es cero. Dicho de otro modo, la función existe para todos los valores de x para los que el denominador es distinto de cero. En notación matemática:

Dom(f) = ∀x ∈ ℝ /x+ 2 ≠ 0 ⇒ Dom(f) = ∀x ∈ ℝ /x ≠ −2 , símbolo “/” significa “tal que”
2. f(x) = x 2 − 4
Solución:

en

donde

el

El Dom(f) está dado por el conjunto de los valores de x para los que f(x) existe. Esta función existe para los valores de x que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero. En notación matemática: Dom(f) = ∀x ∈ ℝ /x 2 − 4 ≥ 0 , en donde el símbolo “/” significa “tal...