Funciones

FUNCIONES

Por:

Ing. Mario René De León García.

El concepto de función es la base fundamental de la matemática e indispensable en todos los campos de aplicación de la
ciencia, que nos permite modelar problemas físicos, procesos de producción, economía, entre otros. En este documento se
estudiaran las funciones, sus representaciones gráficas y sus propiedades.

1.

RELACIÓN

Antesde iniciar con el estudio de las funciones, es indispensable partir de lo general, por esta razón se iniciará con el
estudio de las relaciones, cuya representación general podría ser una curva o una región.

RELACIÓN (definición)
Se dice que existe una relación entre dos conjuntos numéricos, cuando existe una condición, que permite asociar a
un elemento del primer conjunto, al cual se ledenomina DOMINIO, con al menos un elemento de un segundo
conjunto, al cual se denominará RANGO. La condición viene dada por una ecuación o una inecuación y los
elementos asociados se expresan mediante un par ordenado
, donde x representa un valor del dominio,
mientras que y es un valor del rango.

Ejemplo 1:
Sea la siguiente relación, expresada en forma descriptiva:

INTERPRETACIÓN:
Larelación se llama “F”, la cual consiste en el conjunto de pares ordenados, en donde la primera
posición viene definida para la variable x, el cual es un valor que pertenece al conjunto de los números
reales (dominio) y la segunda posición corresponde a la variable y, cuyo valor es parte del conjunto de
los reales (rango) que cumplen con la condición de que el valor y será el doble del valor asignadoa x
(y
).

Es usual asignar un valor a x, de tal forma que el valor de y se determina por la condición de la relación. Por lo anterior
a x se le denomina “variable independiente” y a y “variable dependiente”. Es imposible listar todos los pares ordenados que
cumplen con esta relación, pero algunos podría ser:

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FUNCIONES
A continuación se representan algunos pares ordenados de larelación F, mediante un DIAGRAMA DE FLECHAS:

RANGO:

DOMINIO:

Cómo es imposible listar todos los pares ordenados que cumplen con la relación, es preferible utilizar un plano cartesiano
para representar gráficamente la relación. A la representación grafica de una relación cuya condición viene dada por una ecuación,
se le llama curva. Para la relación F dada, su representación grafica es lasiguiente:

y

8
6
4
2

-4

-3

-2

-1

1

2

3

-2

4

x

-4
-6
-8

Ejemplo 2:

Observe que para la relación G, se ha reducido la descripción, es decir, no se ha indicado el dominio y rango de esta
relación. Algunos pares ordenados de esta relación serán:

En esta relación la condición es que la posición y viene dada por un único valor, 2, por lo que x puedetomar cualquier
valor en los números reales. Por tanto:

Dominio:
Rango:

Preparado por: Ing. Mario René De León García

3

FUNCIONES
La representación grafica de esta relación será:

y3

2

1

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

Ejemplo 3:

En este caso la relación es una inecuación, por lo que su representación grafica vendrá dada por una región en lugar deuna curva. Al analizar la relación, los puntos que cumplen la condición
son los que están sobre la recta del ejemplo 1 ; la
cual define el límite de la región. Los puntos que cumplen con la condición
, son los puntos que están sobre la recta, ya
que los puntos que están por debajo de la misma, tienen un valor de y menor a 2x. La representación gráfica será:

En este caso, la condición en lainecuación incluye la igualdad, por esta razón el l ímite de la región se dibuja con una
curva sólida. Cuando la inecuación no incluye la igualdad, el límite de la región se dibuja con una curva discontinua.

Preparado por: Ing. Mario René De León García

FUNCIONES

4

Ejemplo 4:

En este caso, la desigualdad de la inecuación no incluye la opción de igual, pero la curva
región, sólo...