Funciones

Funciones lineales:
En geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y.Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.
Algunos autores llaman función lineal a aquella con b= 0 de la forma:

mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

cuando b es distinto de cero.
ejemplos: f: f(x) = 2x+5 ,  g: g(x) = -3x+7,   h: h(x) = 4
f: f(x) = 2x+5   si x es3,  entonces f(3) = 2.3+5 = 11
                      si x es 4,  entonces f(4) = 2.4+5 = 13
                      si x es 5,  entonces f(5) = 2.5+5 = 15
g: g(x) = -3x+7  si  x= 0, entonces g(0) = -3.(0) +7 =  0+7 = 7
                       si  x= 1, entonces g(1) = -3.(1) +7 = -3+7 = 4

funciones cuadráticas:

en donde a, b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0.La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.La derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral una función cúbica.
Gráfica de las funciones cuadráticas
La función cuadrática más sencilla es f(x) = x2 cuya gráfica es:
x | -3 | -2 | -1 | -0'5 | 0 | 0'5 | 1 | 2 | 3 |
f(x) = x2 | 9 | 4 | 1 | 0'25 | 0 | 0'25 | 1 | 4 | 9 |

Esta curva simétrica se llama parábola.
Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma.Dibujemos la gráfica de f(x) =  x2  -2 x - 3.
x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
f(x) | 0 | -3 | -4 | -3 | 0 | 5 |
Completando la gráfica obtengo:

funciones cubicas:
La función cúbica es una función polinómica de tercer grado. Tiene la forma:

donde el coeficiente a es distinto de 0.
Tanto el dominio de definición como el conjunto imagen de estas funciones pertenecen a los números reales.La derivada de una función cúbica genera una función cuadrática y su integral una función cuártica.
[editar]Ecuación cúbica
La ecuación cúbica es la ecuación que resulta de igualar a cero la función cúbica, y tiene la forma canónica:

donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un campo, usualmente el campo de los números reales o el de losnúmeros complejos.
[editar]DiscriminanteResulta importante y a la vez esencial obtener propiedades elementales de los polinomios como herramientas de análisis en los resultados según los valores de sus coeficientes. Cualquier ecuación cúbica (1) con coeficientes reales tiene al menos una solución x sobre los números reales; esta es una consecuencia del teorema del valor intermedio. Se pueden distinguir varios posibles casos, usando paraello el discriminante,

Los siguientes casos necesitan ser considerados: 1
* Si Δ > 0, entonces la ecuación tiene tres distintas raíces reales.
* Si Δ = 0, entonces la ecuación tiene múltiples raíces y todas sus raíces son reales (puede ser una raíz triple o una doble y otra simple).
* Si Δ < 0, Entonces la ecuación tiene una raíz real y dos raíces complejas conjugadas.ejmplos:
a) f(x) = 2x3 + 3x2 - 12x
Propiedades
* Dominio: El conjunto de los Reales
* Imagen: El conjunto de los Reales
* Ceros de la función:
Se iguala la función a cero
2x3 + 3x2 - 12x = 0 x( 2x2 + 3x - 12) = 0 Extrayendo factor común x = 0 ( 2x2 + 3x + 12)= 0 Igualando a cero ambos factores y realizar la descomposición.
* Simetría: Demostrar que cumple f(-x)=-f(x).
Para...