Funciones.

FUNCIONES (Primera Parte)

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Funci´n: Una funci´n f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A exactamente un elemento, o o llamado f (x), de un conjunto B. El conjunto A se llama dominio de la funci´n. La imagen de f es el conjunto de todos los valores posibles de o f (x), conforme x var´ en todo el dominio A. ıa Un s´ ımbolo que representa un n´mero arbitrario en el dominiode una funci´n f se llama variable independiente. u o Un s´ ımbolo que representa un n´mero en la imagen de f se llama variable dependiente. u Funci´n real de una variable real. Aquella funci´n que tiene como dominio e imagen subconjuntos de los o o n´meros reales. u Representaci´n de las funciones: o • Verbal • Num´rica e • Visual • Algebraica (con una descripci´n en palabras). o (con una tablade valores) (con una gr´fica). a (con una f´rmula expl´ o ıcita).

Modelos matem´ticos. a • Modelos lineales: • Polinomios: • Funciones potencia: • Funciones racionales: y = f (x) = mx + b. P (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a2 x2 + a1 x + a0 f (x) = xa , f (x) = a es una constante. P (x) y Q(x) son polinomios.

P (x) , Q(x)

• Funciones algebraicas: aquellas que pueden construirse usandooperaciones algebraicas (adici´n, sustracci´n, o o multiplicaci´n, divisi´n y extracci´n de ra´ a partir de polinomios. o o o ız) f (x) = • Funciones trigonom´tricas: e • Funciones exponenciales: • Funciones logar´ ıtmicas: √ x2 + 1, g(x) = √ 3 x+1− x2 + 1 2

sin x, cos x, tan x, sec x, ... f (x) = ax , f (x) = loga x, donde la base a es una constante positiva diferente de 1. donde la base a es unaconstante positiva diferente de 1.

• Funciones trascendentes: funciones que no son algebraicas. El conjunto de las funciones trascendentes incluye las trigonom´tricas , las trigonom´tricas inversas, las exponenciales y las logar´ e e ıtmicas, as´ como un vasto n´mero ı u de otrs funciones.

Ceros de una funci´n. Sea y = f (x), los ceros de la funci´n f (x) son todos aquellos valores x en eldominio de o o f tales que f (x) = 0. Gr´fica de una funci´n. Sea y = f (x) una funci´n, la gr´fica de la funci´n f (x) es el conjunto de todos los a o o a o pares (x, y) en el plano.
1 Elabor´: o

Adriana Caballero Rosas.

1

Algunas funciones y sus gr´ficas. a

y 2 2

y

1.5

1

1

0

x

0.5

-1

0 y 4

-2 y 40

3

20 0 x

2

1

-20

-40 0

1.75 1.5

y 11.25

0.8
1

0.6
0.75

0.4
0.5

0.2
0.25

0
0 0 0.5 1 y 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1
y
y 2

1.5

2

2.5

3 y 1.75 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25 0

0.15 0.1

1.5

0.05 0 x

1

-0.05
0.5

-0.1 -0.15

0

2

Prueba de la recta vertical. Una curva en el plano xy es la gr´fica de una funci´n de x s´ y s´lo s´ ninguna a o ı o ı recta vertical se interseca con lacurva m´s de una vez. a Funciones pares e impares. Sea f (x) una funci´n tal que siempre que x est´ en el dominio D, −x tambi´n est´ en D. o e e a • f es par si f (−x) = f (x) ∀ x ∈ D. ∀ x ∈ D.

• f es impar si

f (−x) = −f (x)

• La gr´fica de una funci´n par es sim´trica con respecto al eje y. a o e • La gr´fica de una funci´n impar es sim´trica con respecto al origen. a o e

Funcionescrecientes y decrecientes. Sea f una funci´n definida en un intervalo I y sean x1 , x2 dos n´meros que est´n en I. o u a 1. f es creciente en I si f (x1 ) < f (x2 ) siempre que x1 < x2 . 2. f es decreciente en I si f (x1 ) > f (x2 ) siempre que x1 < x2 . 3. f es constante en I si f (x1 ) = f (x2 ) para todo x1 y x2 .

Funciones definidas por partes o seccionadas. Ejemplos: |x| = x, −x, si x ≥ 0 si x < 0si x < 0 si x = 0 si x ≥ 1

 x2 ,  f (x) = 0,   x − 1,

Funci´n peri´dica. Se dice que una funci´n f con dominio D es peri´dica si existe un n´mero real positivo k tal o o o o u que t + k est´ en D y f (t + k) = f (t) para todo t en D. a

LISTA 2 FUNCIONES (Primera Parte) Encuentre el dominio de la funci´n f . o 1. f (x) = 2. g(x) = √ 3x − 5

x+2 x2 − 1 √ 3. f (t) = 3 t − 1 4. f (x)...