Funciones

X. FUNCIONES:
DEFINICIÓN: función
Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna
a cada elemento x del conjunto A uno y sólo un elemento y del conjunto B.
Se expresa como:
y
y
x
f: A → B
x → f(x) = y
Re corrido

x
Do min io
Se dice que y es la imagen de x mediante f, y que x es la pre-imagen de
f(x) = y
∗ Dominio: es el conjunto de todos los valores para loscuales está definida la
función y se denota Dom f.
∗ Recorrido: Es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente
(y), y se denota Rec f.
∗ Función Creciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente,
también aumenta la variable dependiente.
∗ Función Decreciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, la
variable dependiente disminuye.
∗ FunciónConstante: Es aquella que para todos los valores de la variable
independiente, la variable dependiente toma un único valor.
EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN
Para encontrar los valores de las imágenes de
una función definida, se reemplazará la variable
independiente por el número o expresión que
corresponda.
Ejemplo: Si f(x) = 3x – 1, la imagen de -1 sería
f(-1) = 3 · (-1) – 1 = - 4.
Si la imagen es 29 y lafunción es f(x) = 2x + 1,
la pre-imagen se obtendrá igualando
2x + 1 = 29 de aquí x = 14 pre-imagen.
∗ Función continua: Es aquella en la que su
gráfica se puede recorrer en forma
ininterrumpida en toda su extensión (figura 1).
∗ Función discontinua: Es aquella que no es
continua, es decir, presenta separaciones
y/o saltos en su gráfica (figura 2 y 3).
∗ Función periódica: Es aquella en la que parte desu gráfica se repite cada
cierto intervalo, llamado período (figura 4).

Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física

125

A. FUNCION DE PRIMER GRADO:
y

∗ f(x) = ax + b

f (x)

f (x)

a>0

y

a<0

m negativa

m positiva

x

x

y

B. FUNCION LINEAL:
∗ Función de primer grado f (x) = ax + b, con b  0:
y a ≠ 0 es denominada función Afín. (a, b  R)

f (x) = ax
x

∗ Si b = 0, La recta pasapor el origen y es llamada
función lineal

y

C. FUNCION IDENTIDAD:
Función lineal f(x) = ax, con a = 1: f(x) = x
∗ La recta pasa por el origen.

∗ Existe una proporcionalidad directa entre x e y.

f (x) = x
x

TRASLACIÓN DE FUNCIONES
Sea y = f(x) una función.
La función y = f(x) + k es la función f(x) desplazada k unidades en el eje y.
Si k > 0 el desplazamiento es en el sentido positivo del ejey, y si k < 0 el
desplazamiento es en el sentido negativo (figura 1 y 2).
La función y = f(x – h) es la función f(x) trasladada h unidades en el eje x. Si h
> 0 el desplazamiento es en el sentido positivo del eje x, y si h < 0 es en el
sentido negativo (figura 3 y 4).
La función y = f(x – h) + k es la función f(x) desplazada k unidades en el eje y, y
h unidades en el eje x.
Si f(x) = ax entonces:f(x) = ax + k, k > 0 f(x) = ax + k, k < 0

f(x) = a(x – h), h < 0

Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física

f(x) = a(x – h), h > 0

126

D. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número real x, denotado por x , es siempre un número
real no negativo.
 x Si x  0
f(x) = x  
, x R
 x, Si x  0
Representaciones gráficas

a indica el punto de traslación en el eje
eje de lasordenadas

b indica el punto de traslación en el
de las abscisas.
y
3

E. FUNCION CONSTANTE:
∗ Función de grado cero.

∗ Su gráfico es una recta horizontal.

x

f (x) = 3

y

F. FUNCION CUADRATICA:
∗ Función de segundo grado
f(x) = ax2 + bx + c
∗ Se grafica una curva llamada parábola.
f (x) = ax2 + bx + c

x

A la función de segundo grado f(x) = ax2 + bx + c, siendo a, b, c  lR y a ≠ 0 se
ledenomina función cuadrática. La representación gráfica de una función
cuadrática es una parábola, simétrica con respecto a una recta paralela al eje de
las ordenadas. Dicha recta recibe el nombre de eje de simetría.

Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física

127

Concavidad: Es la abertura que tiene la parábola
Si a > 0, la concavidad de la parábola está
la parábola Orientada hacia...