Funciones

Unidad Nº 2: funciones

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda.
Según su comportamiento, hay 3 diferentes clasificaciones: Inyectivo, sobreyectivo y biyectivo, que indican de qué manera se conectan los puntos de un conjunto A a los de otro conjunto B.
“Inyectivo" significa que cada elementode "B" tiene como mucho uno de "A" al que corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B" tengan alguno en "A").
"Sobreyectivo" significa que cada elemento de "B" tiene por lo menos uno de "A" (a lo mejor más de uno).
"Biyectivo" significa inyectivo y sobreyectivo a la vez. Así que hay una correspondencia perfecta "uno a uno" entre los elementos de los dos conjuntos.
Funcióninversa: En matemáticas, si f es una aplicación o función que lleva elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la aplicación f -1 que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f -1 es la aplicación inversa o recíproca de f.

Traslación vertical en función cuadrática
 
¿Cómo comparas las gráficas de y = x2 + 2  y  y = x2 - 3 con la gráfica de y =x2?  Observa las gráficas a continuación.
Observa que la gráfica de y = x2 + 2 sube dos unidades desde el origen y la gráfica de y = x2 - 3 baja tres unidades desde el origen.
 
 







Nota: La gráfica de la ecuación de la forma y = f(x) + k es la gráfica de y = f(x) desplazada hacia arriba si k es positiva y desplazada hacia abajo si k es negativa.  De manera que, la gráfica de y = f(x) + k sepuede obtener de la gráfica de y = f(x) al trasladar verticalmente la gráfica de y = f(x), k unidades hacia arriba si k es positiva y k unidades hacia abajo si k es negativa.

Traslación horizontal
 
  ¿Cómo comparas las gráficas de y = (x + 2)2  y  y = (x - 2)2 con la gráfica de y = x2?  Observa las gráficas a continuación.
 
 

 
 
 








Observa que la gráfica de y = ( x + 2)2  se mueve dosunidades hacia la izquierda y la gráfica de y = (x - 2)2 se mueve dos unidades hacia la derecha.
  Nota: La gráfica de y = f(x + h)  es la gráfica de y = f(x) desplazada hacia la derecha si h es negativa y desplazada hacia la izquierda si h es positiva.  De manera que, la gráfica de y = f( x + h) se puede obtener de la gráfica de y = f(x) al trasladar horizontalmente la gráfica de y = f(x), hunidades hacia la izquierda si h es positiva y h unidades hacia la derecha si h es negativa.
Un intervalo es un espacio métrico comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real , es decir, una parte de recta entre dos valores dados. Es un conjunto medible y tiene la misma cardinalidad de la recta real. Hay 3 tipos de intervalos: abiertos,cerrados e infinitos.
Propiedad de un intervalo: Si  e  pertenecen a  con , entonces para todo  tal que , se tiene que  pertenece a .
Entornos: Si X es un espacio topológico y p es un punto perteneciente a X, un entorno de p es un conjunto V que contiene un conjunto abierto Uque contiene a p,

Nótese que el entorno V no necesita ser un conjunto abierto. Si V es abierto se lo llama un entorno abierto.Algunos autores especifican que los entornos deben ser abiertos, por lo que es importante prestar cuidado a las diferentes notaciones.
El conjunto de todos los entornos de un punto forma una base de entornos del punto.
Si S es un subconjunto de X, un entorno de S es un conjunto V, que contiene un conjunto abierto U que contiene a S. Se deduce que un conjunto V es un entorno de S si y solo si es unentorno de todos los puntos de S.

Clases de entorno:

Entorno reducido: un entorno  de un punto  es un entorno reducido si el propio punto  no pertenece al mismo. Es decir, está compuesto solamente por los puntos cercanos a 
Entornos abiertos: un entorno  de un punto  es entorno abierto de  si  es un conjunto abierto (es decir, ).
Entornos cerrados: un entorno  de un punto  es entorno cerrado...