Funciones0910

Tema 5

Funciones de varias variables
Supongamos que tenemos una placa rectangular R y determinamos la temperatura T en cada uno de sus puntos. Fijado un sistema de referencia, T
es una funci´on que depende de las coordenadas (x, y) de cada uno de los
puntos de R. La funci´on que describe este fen´
omeno
T = f (x, y),

(x, y) ∈ R

es un ejemplo t´ıpico de una funci´
on de dos variables; en estecaso, las coordenadas del punto donde evaluamos la temperatura. No es dif´ıcil encontrar
ejemplos de fen´
omenos que a la hora de describirlos necesitemos utilizar
funciones de tres, cuatro o m´as variables.
La definici´on formal de funci´
on de varias variables es la siguiente:
Definici´
on 5.1 Sea D un subconjunto de Rn . Una funci´
on f de D en R
se llama un campo escalar o una funci´
on real den variables. La funci´
on f
asigna, pues, a cada vector x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ D ⊆ Rn un valor real
f (x).
Las funciones de varias variables son esenciales en muchos problemas importantes de la ciencia, la ingenier´ıa, la econom´ıa, etc... De hecho, cualquier
f´
ormula que proporcione una relaci´
on entre una magnitud a partir de los valores de otras magnitudes es, en realidad, una funci´on. Vamos a ver algunos
ejemplos:

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Ejemplo 5.1
La magnitud de la fuerza gravitatoria ejercida por un cuerpo de masa
M situado en el origen de coordenadas sobre un cuerpo de masa m
situado en el punto (x, y, z) viene dada por
F (x, y, z) =

x2

GmM
+ y2 + z2

La ley de los gases ideales dice que la presi´
on P de un gas es una
funci´
on del volumen V y la temperatura T seg´
un la ecuaci´on
P=

cT
V

donde c es una constante.
La desviaci´on S en el punto medio de una viga rectangular cuando
est´
a sujeta por ambos extremos y soporta una carga uniforme viene
dada por
CL3
S(L, w, h) =
wh3
donde L es la longitud, w la anchura, h la altura y C una constante.

Nota: El dominio de un campo escalar f (denotado por Dom(f )) es el
subconjunto de Rn donde est´a definida la funci´
on. En muchasocasiones,
una funci´on viene dada por una expresi´
on algebraica y su dominio no viene
dado expl´ıcitamente. Entendemos, en este caso, que el dominio es el conjunto
de todos los puntos para los que la definici´
on de f tiene sentido.
La imagen o recorrido de un campo escalar (denotado por Im(f )) es el
subconjunto de R dado por todos los valores que toma la funci´
on f ; es decir,
Im(f ) := {f(x) : x ∈ Dom(f )}
La gr´
afica de f es el subconjunto de Rn+1 , definido como
graf(f ) := {(x, f (x)) : x ∈ Dom(f )}
Evidentemente, s´olo podemos representar gr´
aficamente las funciones de una
variable (su gr´
afica est´
a en R2 ) y las funciones de dos variables (su gr´
afica
3
est´
a en R ).
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5.1.

Representaci´
on de funciones

Una forma de obtener informaci´on sobre el fen´
omeno descritopor una fun´
ci´on de dos variables es estudiar su representaci´
on gr´
afica. Esta
no es una
tarea sencilla pero disponemos de algunos m´etodos que permiten hacernos
una idea de su comportamiento. Se trata de cortar la gr´
afica de la funci´
on
con planos paralelos a los planos coordenados. Empezaremos con planos
verticales.
Definici´
on 5.2 Para una funci´
on f (x, y), la funci´
on que seobtiene al mantener la variable x fija y variando la variable y se llama secci´
on transversal
de f con x fija. An´
alogamente se define una secci´
on transversal de f con y
fija.
Ejemplo 5.2 Vamos a calcular la secci´on transversal, para x = 2, de la
funci´
on f (x, y) = x2 + y 2 .
Soluci´
on: Tal y como se observa en la Figura 5.1, la secci´on transversal
es la curva obtenida al cortar la gr´
aficade f (x, y) con el plano vertical de
ecuaci´
on x = 2.

Figura 5.1: Secci´
on transversal con x fija
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La secci´on transversal que hemos de encontrar es, precisamente, f (2, y) =
4+y 2 . Por tanto es una funci´
on de y, digamos g, definida como g(y) = 4+y 2 .
Se trata de una par´
abola sim´etrica respecto del eje x.
En general, obtenemos las secciones transversales de f como funciones de
y...