Funcionesvar

Definici´
on y Gr´
afica

L´ımites y Continuidad

Matem´atica III
Funciones de varias variables
Rosa Luz Medina Aguilar
UNTELS

2015-II

Definici´
on y Gr´
afica

Contenido
1

Definici´on y Gr´afica
Definici´on, Dominio y Rango
Operaciones con funciones
Gr´afica de una funci´
on de varias variables
Curvas de nivel y Superficies de nivel

2

L´ımites y Continuidad
Conceptos previos
L´ımite de unafunci´
on
continuidad

L´ımites y Continuidad

Definici´
on y Gr´
afica

Contenido
1

Definici´on y Gr´afica
Definici´on, Dominio y Rango
Operaciones con funciones
Gr´afica de una funci´
on de varias variables
Curvas de nivel y Superficies de nivel

2

L´ımites y Continuidad
Conceptos previos
L´ımite de una funci´
on
continuidad

L´ımites y Continuidad

Definici´
on y Gr´
afica

L´ımites yContinuidad

Funciones de varias variables - Definici´on

Hay muchas funciones que dependen de m´as de una variables
Ejemplo
El ´area de un tri´angulo de base b y altura h
1
A = hb → A = f (h, b), h > 0 b > 0
2
El volumen de un paralep´ıpedo rectangular de lados x, y , z
V = xyz → V = f (x, y , z), x > 0 y > 0 z > 0

Definici´
on y Gr´
afica

L´ımites y Continuidad

Definici´
on, Dominio y RangoDefinici´on
Una funci´on f de varias variables, es una regla o ley que asocia a
cada vector (x1 , x2 , x3 , . . . , xn ) ∈ Df ⊂ Rn un u
´nico n´
umero real
y = f (x1 , x2 , x3 , . . . , xn ), siendo Df el dominio de f .
f : Rn −→ R
(x1 , x2 , . . . , xn ) → y = f (x1 , x2 , . . . , xn )
Entonces, una funci´on de varias variables est´a constituida por:
Su dominio Df ⊂ Rn
Su rango Rf ⊂ R
La regla y = f(x) que asocia a cada elemento del dominio su
imagen.

Definici´
on y Gr´
afica
Definici´
on, Dominio y Rango

Definici´on

Nos concentraremos en casos particulares de funciones
f : Df ⊂ R2 −→ R
(x, y ) → z = f (x, y )
f : Df ⊂ R3 −→ R
(x, y , z) → v = f (x, y , z)

L´ımites y Continuidad

Definici´
on y Gr´
afica

L´ımites y Continuidad

Definici´
on, Dominio y Rango

Funciones de variasvariables- Dominio y Rango
Dominio (Df ) Es el conjunto donde esta definida f , Df ⊂ Rn
Rango (Rf ) Es el conjunto de todos los valores reales que
toma f , Rf ⊂ R
Entonces
El dominio de una funci´
on de dos variables es la regi´on del
plano para la que la regla de correspondencia tiene sentido en
R
El dominio de una funci´
on de tres variables es la regi´on del
espacio para la que la regla decorrespondencia tiene sentido
en R

Definici´
on y Gr´
afica
Definici´
on, Dominio y Rango

Dominio y Rango
Ejemplo Halle el dominio de la siguiente funci´
on
y
f (x, y ) =
x − y2

L´ımites y Continuidad

Definici´
on y Gr´
afica

L´ımites y Continuidad

Definici´
on, Dominio y Rango

Dominio y Rango
Ejemplo Halle el dominio de la siguiente funci´
on:
f (x, y , z) =

cos(yz)
4 − x2 − y2 − z2

Definici´on y Gr´
afica

L´ımites y Continuidad

Operaciones con funciones

Operaciones con funciones de varias variables
Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma
manera que las funciones de una variable.
Sean f y g funciones de varias variables
f : Df ⊂ Rn −→ R

y

entonces tenemos
(f ± g )(x) = f (x) ± g (x)
(f · g )(x) = f (x) · g (x)
f
g

(x) =

f (x)
,
g (x)

g (x) = 0

g : Dg ⊂Rn −→ R

Definici´
on y Gr´
afica

L´ımites y Continuidad

Operaciones con funciones

Operaciones con funciones de varias variables
El dominio de la funci´
on suma, diferencia y producto es la
intersecci´on de los dominios de las funciones de varias variables, es
decir
Df +g = Df −g = Dfg = Df ∩ Dg
En el cociente se hace una restricci´
on adicional
Df /g = Df ∩ Dg − {x ∈ Dg /g (x, y ) = 0}Ejemplo
Halle el dominio de la siguiente funci´
on
f (x, y ) =

x 2y
y−

x2

+

x −1
1 − x2 − y2

Definici´
on y Gr´
afica

L´ımites y Continuidad

Operaciones con funciones

Funci´on compuesta
No se puede realizar la composici´
on entre funciones de varias
variables, pero si r : R −→ Rn es una funci´
on vectorial,
h : R −→ R una funci´
on real y f : Rn −→ R una funci´on de varias
variables, podemos...