Funcions Solucions
TEMA 1: Funcions reals de n variables
Solucions material de treball autònom
1.
2.
3. (d)
4. (c)
5. (c)
6. (d)
7.
8. (b)
9. (c)
10. (a)
1
( 2)
(b) ∇f ( 0,0 ) = 0, 1
1
(c) f '(0, −1) ( 0,0 ) = −
2
11. (a)
12. (a)
(
)
(b) ∇f 1 2 ,1 = ( 2, −1)
(
(c) f '
1 , 1
2 2
() 1 2 ,1) =
1
2
13. (a)
1 1
(b) ∇f (1,1) = , −
2 2
7
(c) f ' 3 4 (1,1) = −
(− 5, 5 )
10
14.(a) E x f ( 5 ) = 6
(b) E x f ( x ) = −1 si x0 ≠ 0 ; en x0 = 0 no existeix
27
(d) E x f ( 3) =
7
(c) E x f ( 0 ) = 0
15.
(a) E x f (1,1,1) =
16.
12
7
(b) E y f (1,1,1) = 1
(c) E z f (1,1,1) = −∂f
∂f
∂f
∂f
( 0,0 ) = 6 , ( 0,0 ) = 0 , (1, 2 ) = −2 i ( 2,3) = 24
∂x
∂y
∂x
∂y
2
1
7
17. L’equació del pla tangent a f en el punt (1, 2 ) és T ( x, y ) = 2 x + y − 6 .
El valor aproximat de lafunció en el punt (1,1 , 2,01) és T (1,1 , 2,01) = −1,79 , valor que podem
comparar amb el seu valor exacte, f (1,1 , 2.01) = −1,744479 .
18.
19.
15
41
(a) f (10,5 ) = 750
(b) T ( x, y ) = 175 x + 100 y− 1.500 i T (10,1 , 5 ) = 767,5
⌢
(c) E x f (10,5 ) = 2,3 , és a dir, si incrementem el valor d’ x en un 1%, el valor d’ f s’incrementarà,
⌢
aproximadament, en un 2,3%
(d) f (10,1 , 5 ) = 767,6 . Sicomparem amb el valor obtingut en l’apartat (b) veiem que la
diferència (error absolut) és de només 0,1 unitats. Finalment, si fem servir la informació
obtinguda en l’apartat (c), donat que passar delpunt (10,5 ) al punt (10,1 , 5 ) suposa un
increment de la variable x en un 1%, l’elasticitat parcial de la funció en el punt (10,5 ) ens deia
⌢
⌢
que la imatge de la funció augmentaria,aproximadament, en un 2,3% . El 2,3% de 750 és 17,5
i, per tant, el valor aproximat de la funció en el punt (10,1 , 5 ) serà de 750+17,5=767,5.
20.
∂f ∂f ∂f
+
+
=0
∂x ∂y ∂z
)
(
21. ∇f ( x, y ) = e x ⋅ cos y ,− e x ⋅ sin y i ∇f ( 0, π ) = ( −1,0 )
∂2 f
∂2 f
∂2 g e
22.
= 2y ,
=0 ,
= −2 y ,
=
∂x∂z
∂x 2
∂z 2
∂x 2
∂2 f
∂2 f
∂y 2
=0
,
∂2 f
= −2 z
∂z∂y
(
e x + 2 y ⋅ x2 − 2 x + 2
x3
Hg ( x, y )...
Regístrate para leer el documento completo.