FuncionsExpLog

Cap´ıtol 7

Funcions Exponencial i Logar´ıtmica
7.1
7.1.1

Funcions Exponencials
La funci´
o exponencial

La funci´
o exponencial ´es de la forma y = ax , amb a com a nombre real positiu. A la figura es veu el
tra¸cat de la gr`
afica de y = 2x

x
y

−3
0,125

−2
0,25

−1
0,5

0
1

1
2

2
4

3
8

−0, 5
−2

Als gr`
afics seg¨
uents es pot veure com canvia la gr`afica en variar a. Observeu que lesgr`afiques de
x
1
x
y = a i de y =
= a−x s´
on sim`etriques respecte de l’eix OY.
a

CAP´ITOL 7. FUNCIONS EXPONENCIAL I LOGAR´ITMICA

2

7.1.2

Creixement exponencial

La funci´
o exponencial es presenta en multitud de fen`omens de creixement animal, vegetal, econ`omic, etc.
En tots aquests contextos la variable ´es el temps. En el creixement exponencial, cada valor de y s’obt´e
multiplicant elvalor anterior per una quantitat constant a.
On k ´es el valor inicial (per a t = 0), t ´es el temps transcorregut i a ´es el factor pel qual es multiplica en
cada unitat de temps.
Si 0 < a < 1 es tracta d’un decreixement exponencial.
• El domini s´
on els nombres reals i el recorregut s´on els reals positius.
´ una funci´
• Es
o cont´ınua.
• Si a > 1 la funci´
o ´es creixent i si 0 < a < 1 lafunci´o ´es decreixent.
• Talla l’eix de les y’s en el punt (0,1).
• L’eix OX ´es una as´ımptota.
• La funci´
o ´es injectiva, ´es a dir, que si an = am , llavors n = m.
En les gr`
afiques anteriors es pot veure com en multiplicar per una constant y = k · ax , el punt de tall
amb leix OY ´es (0, k).
En sumar (o restar) una constant b la gr`afica es despla¸ca cap amunt (o cap avall) b unitats il’as´ımptota
horitzontal passa a ser y = b.
Exemple Resolt

7.1. FUNCIONS EXPONENCIALS

3

En una laboratori tenen un cultiu bacteri`
a, si el seu pes es multiplica per 2 cada
dia, com es el seu creixement si el seu pes
inicial ´es de 3 grams? f (x) = 3 · 2x
Pes inicial de 3 grams.
Creixement: per 2.
x
0
1
2
3
4

7.1.3

f (x)
3·0=3
3·1=6
3 · 4 = 12
3 · 8 = 24
3 · 16 = 32

Aplicacions

La funci´
o exponencialserveix per descriure qualsevol proc´es que evolucioni de manera que l’augment (o
la disminuci´
o) en un petit interval de temps sigui proporcional al que hi havia al seu comen¸cament.
Veiem tres exemple:
• Creixement de poblacions.
• Inter`es dels diners acumulats.
• Desintegraci´
o radioactiva.
Inter`
es compost En l’inter`es compost els interessos produ¨ıts per un capital, C0 s’hi vanacumulant,
de tant en tant, per produir interessos nous.
Els intervals de temps, al cap dels quals els interessos s’acumulen al capital, es diuen per´ıodes de capitalitzaci´
o o d’acumulaci´
o. Si s´
on t anys, r ´es el r`edit anual (inter`es anual en %) el capital final obtingut ve
donat per la f´
ormula:
t
i
Ct = C0 · 1 +
100
Si es considera f la freq¨
u`encia de capitalitzaci´o (f = 12 si mesos, f = 4si trimestres, f = 365 si
dies...) la f´
ormula anterior queda
Ct = C0 · 1 +

i
f · 100

f ·t

Exemple Es col·loquen 5 000e al 6% anual. En quant es convertiran al cap de 5 anys?
Si els interessos s’acumulen anualment
Ct = 5 000 · 1, 065 = 6 691, 13e
Si els interessos s’acumulen mensualment
Ct = 5 000 · 1 +

6
1200

12·5

= 5 000 · 1, 00560 = 6744, 25e

Si els interessos s’acumulen trimestralmentCt = 5 000 · 1 +

6
400

4·5

= 5 000 · 1, 01520 = 6734, 27e

Creixement de poblacions El creixemient vegetatiu d’una poblaci´o el d´ona la difer`encia entre
naixements i defuncions. Si inicialment partim d’una poblaci´o P0 que t´e un ´ındex de creixement anual i
(expressat en tant per un), la poblaci´
o despr´es d’un any ser`a:
P = P0 · (1 + i)t

CAP´ITOL 7. FUNCIONS EXPONENCIAL I LOGAR´ITMICA4

Exemple Un poble t´e 600 habitants. Se sap que la seva poblaci´o creix a un ritme del 3% anual.
Quants habitants tindr`
a d’aqu´ı a 8 anys?
P = 600 · 1, 038 = 760

Desintegraci´
o radioactiva Les subst`ancies radioactives es desintegren amb el pas del temps. La
quantitat d’una certa subst`
ancia radioactiva que va quedant amb el pas del temps t, la d´ona:
M = M0 · at
on M0 ´es la massa...