Función Exponencial

Función Exponencial


Sea [pic] un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia [pic] se llama función exponencial de base a y exponente x. Como [pic] para todo [pic] |R, la función exponencial es una función de |R en |R . 
En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de la función exponencial. 

 Teorema (Leyes de los Exponentes) 
Sean a y b reales positivos y x,y ∈ |R, entonces: 
[pic][pic] 
 [pic] 
[pic] 
[pic] 
[pic] . 
[pic] 




Cuando a > 1, si x < y, entonces, [pic] . Esdecir, cuando la base a es mayor que 1, la función exponencial de base a es estrictamente creciente en su dominio. 
Cuando 0 < a < 1, si x < y , entonces, [pic] . 
Esto significa que la funciónexponencial de base a < 1 es estrictamente decreciente en  su dominio. 
[pic]. 

Gráfica de la Función Exponencial 


Cuando la base a es mayor que 1, por ejemplo, la funciónexponencial [pic] no estaría acotada superiormente. Es decir,  [pic] crece sin límite al aumentar la variable x. Además, ésta función tiene al cero como extremo inferior. Quiere decir que  [pic] tiende acero, cuando x toma valores grandes pero negativos. 
Igualmente, cuando la base a es menor a 1, la función exponencial  [pic] no está acotada superiormente, pero su comportamiento para valoresgrandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así, [pic] crece sin límite, al tomar x valores grandes, pero negativos y [pic] tiende a cero, cuando la variable x toma valores grandes positivos. El hecho de ser la función exponencial [pic]con a > 1, estrictamente creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1), significa que la función exponencial es inyectiva en su dominio.Este hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la función inversa ( función logarítmica).


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