Función Gama



Propiedades
De la representación integral se obtiene:
.
Otras ecuaciones funcionales importantes de la función Gamma son la fórmula de reflexión deEuler

y la fórmula de duplicación

La fórmula de duplicación es un caso especial del teorema de multiplicación

Una propiedad básica y muy útil de lafunción Gamma , que puede obtenerse a partir de la definición mediante productos infinitos de Euler es:

Varios límites útiles para aproximacionesasintóticas:

Quizá el valor más conocido de la función Gamma con argumento no negativo es

La cual puede obtenerse haciendo  en la fórmula de reflexión o en lafórmula de duplicación, usando la relación de la función Gamma con la función beta dada más abajo con  o haciendo la sustitución  en la definición integral de lafunción Gamma, con lo que se obtiene una integral Gaussiana. En general, para valores impares de n se tiene:
    (n impar)
donde n!! denota al doblefactorial.
Las derivadas de la función Gamma vienen dadas por la función poligamma. Por ejemplo:

A partir de la representación integral de la función Gamma, seobtiene que su derivada n-ésima es:

La función Gamma tiene un polo de orden 1 en  para todo número natural y el cero. El residuo en cada polo es:El teorema de Bohr-Mollerup dice que, entre todas las funciones que generalizan el factorial de los números naturales a los reales, sólo la función Gamma es logaritmoconvexa (o log-convexa), esto es, el logaritmo natural de la función Gamma es una función convexa.
El desarrollo en Serie de Laurent de  para valores 0