Función Lineal

Funciones Lineales

INTRODUCCIÓN ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Es usual encontrarse con problemas de este tipo: Si un litro de nafta cuesta $ 1,50. ¿Cuánto cuestan 2 litros?, ¿Cuánto 3 litros?, ¿Cuánto 7 litros?, ¿Cuánto 3,5 litros?. Podemos entonces construir la siguiente tabla (por un simple planteo de regla de tres):

Litros 1 2 3 5 7

Costo en $ 1,50 3,00 4,50 7,50 10,50Tabla 1 – Datos de costos para determinada cantidad de litros

Si con estos datos hacemos una gráfica costo versus litros:

y
10,50

[s]

7,50

4,50 3,00 1,50 1 2 3 4 5 6 7

x

[litros]

Figura 1

Funciones Lineales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2007

( 51 )

Observamos que: 1. 2. Los puntos se encuentran sobre una recta. A igual diferencia de litros (sobre el eje x),igual diferencia de costos. Por ejemplo: si vemos la diferencia de costos ente 1 lts. y 2 lts., es de $ 1,50. Esta misma magnitud ($ 1,50) se tiene cuando calculo la diferencia entre 2 y 3 lts.

y
10,50

[s]
1

7,50 1 4,50 3,00 1,50 1 1 0,5 1 0,5 2

2

2

3

4

5

6

7

x

[litros]

Figura 2

Así mismo, a diario observamos fenómenos que al tratar de interpretarlos, nosllevan a gráficos de rectas. Algunos ejemplos que podemos mencionar son:

• La distancia recorrida por un móvil sobre un camino recto a velocidad constante (movimiento

rectilíneo uniforme) en función del tiempo.
• La velocidad de enfriamiento de un cuerpo en función de la temperatura, donde la temperatura del

cuerpo es mayor que la temperatura del ambiente (Ley de enfriamiento deNewton).
• El perímetro de la circunferencia en función del radio. • El largo de la sombra proyectada por los edificios en función de la altura (a una determinada hora).

Todas las situaciones que en lo cotidiano responden a una función lineal, justifica prestarles especial atención a este tipo e funciones. Por eso pasaremos a su definición, dado que en la matemática son muy importantes lasdefiniciones.

Dada una definición, ella debe ser tan precisa como para que no existan dudas respecto a lo definido.

Definición: Llamamos función lineal a una función que se expresa de la forma:

f(x) = y = a x + b Donde a y b son números reales. a se llama pendiente y b se llama ordenada al origen.

( 52 )

Funciones Lineales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2007

¿Les parece sencilla estadefinición? ¿La damos por entendida?. Mejor trabajemos con algunos ejemplos antes de continuar con otras definiciones.

Ejemplo 1:

1)

y = 2 x −1

2) f ( x ) = 3 x

3) y = 3

4) y = −2 x +

1 3

¿Cuál es el valor de a y b en cada uno de los casos?

Respuestas: Del ejemplo 1.1): Del ejemplo 1.2): Del ejemplo 1.3): Del ejemplo 1.4): a = 2; b = -1 a = 3; b = 0 a = 0; b = 3 a = - 2;b =
1 3

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LINEAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Tratemos ahora de caracterizar el gráfico de una función lineal

1. Si a = 0, la función es y = b

Ya que los puntos del gráfico de esta función son los pares (x;b) para cualquier valor de x, estos puntos se encuentran sobre una recta horizontal. Por lo tanto su gráfica es paralela al eje x y corta al eje y en (0;b)y
(0;b) (x;b)

x

x

Figura 3

Concluimos: “La gráfica de una función lineal y = b es una recta paralela al eje x que

pasa por (0;b)”

Funciones Lineales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2007

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Nota: Debemos recordar que la recta A es paralela a la recta B si y sólo si A no intersecta a B ó A = B.

2. Si y = 0 , la función es y = a x

En la siguiente gráficapodemos ver que la representación de esta función es la recta r determinada por el origen (0;0) y el punto A = (1;a)

y
(1;a) a (0;0) 1

x

Figura 4

Para probar esta afirmación debemos demostrar que : a) Todo punto (x;y) de la recta r satisface y = a x . b) Todo par de valores (x;y) que satisface y = a x , es un punto de la recta r.

Demostración: (puede obviarse en una primera lectura...