Función logaritmo y exponencial
Objetivo: El alumno conocerá las funciones logaritmo y exponencial natural sus propiedades y, las aplicará en el cálculo de límites, derivadas e integrales. En el tema I del curso, se estudiaron las integrales definidas e indefinidas de diversos tipos de funciones. Una de las primeras fórmulas de integración fue
La interpretación gráfica de
como unárea se muestra en la siguiente figura.
la cual sólo se demostró para valores racionales de cuando , debido a que el cociente
, y por supuesto no es aplicable no
no está definido. Si la función
fuera tan común en diversas ramas de la matemática, quizá se omitiría su estudio, y cuando fuese necesario integrarla se recurriría a métodos numéricos para obtener valores aproximados; sinembargo, la función es bastante común, y su integral define una función
La restricción no está definida en
en la definición del logaritmo natural se debe a que la .
función de gran importancia, la cual recibe el nombre de función logaritmo natural. La función a continuación es continua excepto en , y su gráfica se muestra
Por otro lado, del teorema fundamental del cálculo y de la definiciónde la función logaritmo natural, se tiene el siguiente teorema. Teorema La derivada de la función es , esto es,
o bien, de manera general si
es una función de
Es decir, Para obtener el área bajo la curva y por arriba del eje x, se define una función cuya derivada es .
es una antiderivada de
.
El nombre de logaritmo, para la función , se debe a que satisface las mismas propiedadesde los logaritmos en diferentes bases estudiados por el álgebra.
Definición La función logaritmo natural, para
, se define como
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) A.L.B.S. / I.K.M.R.
FUNCIÓN LOGARITMO Y EXPONENCIALS)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) Teorema Si y son números reales positivos y Entonces: 1) 2) 3) Demostración de (1) Defínase una función y , entonces: además, , lleva a la siguiente gráfica cuando , La función es un número racional. y tiene una concavidad negativa , cuando , , tiene una pendiente positiva, puesto que ,
2
, lo que
por lo que
integrando en ambos lados
Funcióninversa de
donde es una constante, y puesto que , se tiene que Al observar cuidadosamente la gráfica de por lo cual deberá tener función inversa. , es fácil darse cuenta que es inyectiva,
de donde
, y sustituyendo se tiene
Finalmente, si
, entonces
Gráfica de la funciónS))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) A.L.B.S. / I.K.M.R.
Cálculo DiferencialNTEGRAL S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
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Función Exponencial
Por su importancia, la función inversa del logaritmo natural tiene nombre propio, y se llama función exponencial. Definición si y sólo si
Teorema Sean y
números reales cualquiera, y 1) 2)3)
un número racional. Entonces 4) 5) 6)
Debe observarse que, sólo está definido para y su recorrido son todos los reales, por lo que el dominio de son todos los reales y su recorrido los reales no negativos, además
El número
puede ser expresado (o definido) como un límite
o bien
El número
En particular, el valor de , es de tal importancia en las matemáticas que se denota por elsímbolo , en honor de L. Euler, así: El valor aproximado de es,
Logaritmo común y exponencial con base
El número es irracional, y puesto que Los conocimientos adquiridos de la función con base , como permiten definir la función exponencial
y entonces , es decir . Utilizando las propiedades de la función logaritmo natural, se tiene que para cualquier real , , y de la definición de la...
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