función

CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN
1. DOMINIO
Dominio de f(x) o campo de existencia de f(x) es el conjunto de valores para los que está definida la
función, es decir, el conjunto de valores que toma la variable independiente “x”. Se denota por Dom(f).
Dom ( f ) = {x ∈ ℜ / ∃ y ∈ ℜ con y = f ( x)}

OBTENCIÓN DEL DOMINIO DE DEFINICIÓN A PARTIR DE LA GRÁFICA
Cuando una función se presenta a travésde su gráfica, con
proyectar sobre el eje de abscisas (eje OX) dicha gráfica
conseguimos su dominio de definición. Esto es así porque
cualquier valor “x” del dominio tiene una imagen “ y = f (x ) ”,
y, por lo tanto, le corresponde un punto ( x, y ) de la gráfica. Este
punto es el que, al proyectar dicha imagen sobre el eje OX, nos
incluye ese valor dentro del dominio.
En el ejemplo vemoscoloreado de azul el dominio (está
dibujado un poco más abajo para que sea bien visible la escala
del

eje

de

abscisas). En

este

caso

tenemos

que

Dom ( f ) = ( −∞,4) ∪ ( 4,8] .

De una manera no formal, podríamos decir que si aplastamos la gráfica sobre el eje OX y ésta estuviese
manchada de tinta, quedaría manchado sobre el eje justo el dominio de definición de lafunción f.

OBTENCIÓN DEL DOMINIO A PARTIR DE LA EXPRESIÓN ANALÍTICA

I)

FUNCIÓN POLINÓMICA: f ( x ) = P ( x ) ⇒ Dom ( f ) = ℜ
Ejemplos
a)

f ( x) = x 3 − 5 x 2 +

2
x −5
3

b) f ( x) = 2 x 4 − x 2 +
II)

función polinómica ⇒ Dom( f ) = ℜ

3
x −1
3

FUNCIÓN RACIONAL: f ( x) =

función polinómica ⇒ Dom( f ) = ℜ
P( x)
⇒ Dom( f ) = ℜ − {x / Q( x) = 0}
Q( x)

Ejemplos
a)f ( x) =

x−2
función racional ⇒ Dom( f ) = ℜ − {x ∈ ℜ / x 2 − 4 x − 5 = 0} = ℜ − {−1,5}
x − 4x − 5
2

4 + 6
 2 =5
4 ± 16 + 20 4 ± 6 
x2 − 4x − 5 = 0 ⇔ x =
=
=
2
2
4 − 6

= −1
 2
b) f ( x) =

x−2
función racional ⇒ Dom( f ) = ℜ − {x ∈ ℜ / x 2 + 4 = 0} = ℜ
2
x +4

x 2 + 4 = 0 ⇔ x 2 = − 4 ⇔ x = − 4 ⇒ no tiene solución real
n par ⇒ Dom( f ) = {x ∈ Dom( g ) / g (x) ≥ 0}
III) FUNCIÓN RADICAL: f ( x = n g ( x) ⇒ 
n impar ⇒ Dom( f ) = Dom( g )
Ejemplos
a)

f ( x ) = 2 x − 4 función radical con índice par ⇒ Dom( f ) = {x ∈ ℜ / 2 x − 4 ≥ 0} = [ 2,+∞)

2x − 4 ≥ 0 ⇒ 2x ≥ 4 ⇒ x ≥ 2
b) f ( x) = x 2 − 1 función radical con índice par ⇒ Dom( f ) = {x ∈ ℜ / x 2 − 1 ≥ 0} = (−∞,−1] ∪ [1,+∞)
Tenemos que resolver la inecuación : x 2 − 1 ≥ 0
Ceros

x 2 − 1 =0 ⇔ x 2 = 1 ⇔ x = ± 1 ⇔ x = −1 ò x = 1

c)

f ( x) =

1
4

4− x

2

función radical con índice par ⇒ Dom( f ) = {x ∈ ℜ / 4 − x 2 > 0} = (−2,2)

Tenemos que resolver la inecuación : 4 − x 2 > 0
Ceros

4 − x 2 = 0 ⇔ x 2 = 4 ⇔ x = ± 4 ⇔ x = −2 ò x = 2

d) f ( x) = 3 x 2 − 5 x + 1 función radical con índice impar ⇒ Dom( f ) = Dom( y = x 2 − 5 x + 1) = ℜ

e)

f ( x) = 5

11 

función radical con índice impar ⇒ Dom( f ) = Dom y =
 = ℜ − {−2}
x+2
x+2


IV) FUNCIÓN EXPONENCIAL
1)

f ( x) = a x con a > 0, a ≠ 1 ⇒ Dom( f ) = ℜ

2)

f ( x) = a g ( x ) con a > 0, a ≠ 1 ⇒ Dom( f ) = Dom( g )

Ejemplos
a)

f ( x) = 2

b) f ( x) = e x

x−3

⇒ Dom( f ) = Dom( y = x − 3 ) = {x ∈ ℜ / x − 3 ≥ 0} = [3,+∞)

2
−3 x

2 

2
⇒ Dom( f ) = Domy = 2
 = ℜ − {x ∈ ℜ / x − 3 x = 0} = ℜ − {0,3}
x − 3x 


2

x = 0

x − 3x = 0 ⇔ x ⋅ ( x − 3) = 0 ⇔ 
x − 3 = 0 ⇒ x = 3

2

2

c)

 1  x2 +1
f ( x) =  
2

2 

2
⇒ Dom( f ) = Dom y = 2
 = ℜ − {x ∈ ℜ / x + 1 = 0} = ℜ
x +1


x 2 + 1 = 0 ⇔ x 2 = −1 ⇒ No tiene solución real

V)

COCIENTE DE FUNCIONES NO POLINÓMICAS: f ( x) =

g ( x)
h( x)

Dom (f ) = [ Dom ( g ) ∩ Dom ( h)] − {x ∈ Dom ( h) / h( x ) = 0}

(Valores de x en los que g y h están definidas a la vez excepto aquellos en los que h se anula)
Ejemplos
a)

f ( x) =

x
x −1

y = x → Dominio = ℜ

y = x − 1 → Dominio = {x ∈ ℜ / x − 1 > 0} = {x ∈ ℜ / x > 1} = (1,+∞)
(la desigualdad es estricta porque como el radical está en el denominador no puede anularse)
Por tanto,...