Fundacion De Equipos

Diseño de Fundaciones

CI72C

Universidad de Chile Facultad de Ciencias Físicas y Matematicas Departamento de Ingeniería Civil

Diseño de Fundaciones para Equipos Vibratorios

Roberto Riquelme Herrera

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19 de Julio de 2006

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1. Aspectos teóricos
El diseño de fundaciones de maquinarias puede seguir dos caminos: • Si el tamaño de lamaquinaria involucrada es pequeña o la excitación solicitante es reducida el análisis se puede realizar por medio de cargas estáticas equivalentes. Si la maquinaria es de mayor envergadura o bien el problema reviste complejidad adicional es necesario efectuar una análisis de vibraciones.

•

A continuación desarrollemos algunos conceptos básicos que se aplican al diseño de fundaciones sujetas avibraciones. Todo sistema de la figura siguiente:

La ecuación de equilibrio del sistema viene dada por
m⋅ d y + C⋅ y + k ⋅ y + δ st = W dt dt
2

d

2

(

)

(1)

m⋅

d y + C⋅ y + k⋅ y = 0 dt dt
2

d

2

(2)

Si no hay exitación

m⋅

d y + C⋅ y + k ⋅ y = F( t) dt dt
2

d

2

(3)

Si hay exitación

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Asumiendo la siguiente solución para la ecuación (2):
y=e
s⋅ t

(4)

Substituyendo la ecuación (4) en (2) se tiene:
s1 =

⎛ 1 ⎞ ⋅ −C + C2 − 4⋅ k ⋅ m ⎜ ⎝ 2⋅ m ⎠ ⎛ 1 ⎞ ⋅ −C + C2 − 4⋅ k ⋅ m ⎜ ⎝ 2⋅ m ⎠

( (

) )

(5a)

s2 =

(5b)

Luego la solución completa de la ecuación (2) esta dada por :
A⋅ e
s 1⋅ t

y

+ B⋅ e

s 2⋅ t

(4b)

Lasolución anterior describe el movimiento llamado transciente, en el que la oscilación desaparece con un rapidez que es función del amortiguamiento. De las ecuaciones (4a), (5a) y (5b) se aprecia que la naturaleza de la oscilación depende del amortiguamiento C. Dependiendo de el valor de C se pueden presentar las 3 situaciones siguientes.

•

Caso no amortiguado – C=0

En este caso se tiene:
s
1i⋅ ωn

s

2

−i⋅ ωn

De donde se puede escribir
y o y B1⋅ cos ωn⋅ t + B2⋅ cos ωn ⋅ t A⋅ e
i⋅ ω n⋅ t

+ B⋅ e

− i⋅ ω n⋅ t

C1⋅ e

i⋅ ω n⋅ t − φ

(

)

(7a) y (7b)

(

)

(

)

C1⋅ cos ωn ⋅ t − φ

(

)

(7c) y (7d)

Si suponemos condiciones iniciales de velocidad (vo) y desplazamiento (yo), la ecuación (7c) queda de la siguiente forma:

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y = y o ⋅ cos ω n ⋅ t +

(

)

⎛ vo ⎞ ⋅ sen( ω n ⋅ t) ⎜ ωn ⎝ ⎠

(8a)

v ωn

= −y o ⋅ sen ω n ⋅ t +

(

)

⎛ vo ⎞ ⋅ cos( ω n ⋅ t) ⎜ ⎝ ωn ⎠

(8b)

O bien en la ecuación (7b)
y C1⋅ cos ωn ⋅ t − φ

(

) )

(9a)

v ωn

−C1⋅ sen ωn ⋅ t − φ

(

(9b)

Donde :
C1

⎛ vo ⎞ yo + ⎜ ⎝ ωn ⎠2

2

Amplitud de vibración

φ

atan ⎜

⎛ vo ⎞ ⎝
ωn ⋅ y o

Angulo de fase

⎠

En la siguiente figura se muestra una representación grafica de la ecuación (9a), por la proyección del vector C1 rotando en torno de un punto fijo O, con una velocidad constante ωn. La proyeccion en el eje X corresponde al desplazamiento y, mientras que la proyección en el eje Y corresponde al velocidad(v/ ωn).
En esta figura la grafica (b) corresponde a el desplazamiento versus el tiempo y (c) corresponde a la velocidad versus el tiempo. En este caso debido a la ausencia de amortiguamiento la oscilación no pierde amplitud.

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•

Caso 2 Sub-amortiguado - 0 < C2 < 4km

En este caso:
s1 s2

( ωn ⋅ (−C − i⋅
⎛ ⎛

ωn ⋅ −C + i⋅ 1 − D

) 2 1−D )
2

(10a) (10b)

Reemplazando las relaciones (10) en (4b) y usando la relación de Euler.
y o y e
− D ⋅ ω n⋅ t

e

− D ⋅ ω n⋅ t

⋅ B1⋅ sen ωn ⋅ 1 − D ⋅ t + B2⋅ cos ωn ⋅ 1 − D ⋅ t ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠

2

⎞

⎛

2

⎞ ⎞ (11a)

⋅ Y⋅ sen...