Fundacion elastica

Vigas en fundación elástica

J. T. Celigüeta

Definición
Viga conectada en toda su longitud en algún medio material deformable (terreno) que interacciona con ella. Se transmite fuerza transversal entre la viga y el medio material. La fuerza transmitida es debida a la deformación del terreno.

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Definición
Raíles de ferrocarril, vigas de cimentación, tuberías enterradas
Primerosestudios:
Winkler (1875): viga continua de infinitos vanos muy próximos. Zimmerman (1906) viga continua sobre muelles discretos.

Teoría actual
Timoshenko (1915).

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Comportamiento del terreno
Modelo lineal: proporcionalidad entre la presión sobre el terreno y la deformación lateral de la viga.
Kt = p δ

Kt: Coeficiente de balasto del terreno |Kt| : F/L3 Habitualmente kg/cm3 Dependefuertemente de la naturaleza del terreno Determinación: experimental, bibliografía

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Comportamiento del terreno
Terreno Arcilla arenosa húmeda Arcilla arenosa seca Grava arenosa fina Grava arenosa seca Kt (kg/cm3) 2 - 3 6 - 8 8 - 10 15 - 20

Otras fórmulas y valores en la bibliografía Otros modelos más sofisticados (casos muy especiales)
d 2δ p = Kt δ + K1 2 dx
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Teoría básica (1)Hipótesis de Navier: secciones planas se mantienen d 2v perpendiculares a la fibra neutra ε = −y 2
Deformación unitaria lineal, proporcional a la curvatura Curvatura = derivada segunda

dx

Momento flector
d 2v M ≡ −∫ σydA = EI 2 dx
Se supone comportamiento bidireccional de la fundación (terreno empuja en ambos sentidos)

Equilibrio de momentos
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dM Q =− dx

Teoría básica (2)Equilibrio vertical Sustituyendo Q y M
d 4v EI 4 + Kt b v + q = 0 dx
dQ = Ktvbdx + qdx

Coeficiente de balasto de la viga:

K = Kt b

Ecuación de equilibrio de la viga en fundación elástica
d 4v EI 4 + K v + q = 0 dx
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Solución general de la ecuación homogénea
Sin carga exterior Soluciones del tipo:
Sustituyendo

d 4v EI 4 + K v = 0 dx
v = e ax
a 4EIe ax + Ke ax = 0
a = (±1 ± i ) β1/ 4

⎛K ⎞ a =⎜ ⎟ ⎜ EI ⎠ ⎝ ⎟

(−1)

1/ 4

4 números complejos módulo 1

Siendo

⎛ K ⎞ ⎟ β =⎜ ⎟ ⎜ 4EI ⎠ ⎝
v=

1/ 4

“Rigidez relativa” viga - terreno

Solución final

i =1,4
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∑ Ae
i

ai x

Solución general de la ecuación homogénea
Sustituyendo exponenciales por trigonométricas

v = e βx (C 1 cos βx + C 2 sin βx ) + e −βx (C 3 cos βx + C 4 sin βx )
Deformaciónsegún funciones trigonométricas con amplitud variable de forma exponencial Sólo válido para tramos de la viga sin cargas Las magnitudes restantes (M, Q) tendrán variaciones similares, al ser derivadas de la deformada Longitud de onda de la respuesta: β “Amortiguamiento” de la respuesta: β Hallar las constantes de integración en cada caso particular
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Viga infinita con carga puntual
Aplicable lasolución general de la homogénea, salvo en x=0

v = e βx (C 1 cos βx + C 2 sin βx ) + e −βx (C 3 cos βx + C 4 sin βx )

Condiciones de contorno
Infinito: Simetría: Equilibrio en x=0 x =∞ v=0
→

→

C1 = C 2 = 0

v ′ (x = 0) = 0

−C 3 + C 4 = 0

Q(x = 0) = −EIv ′′′(x = 0) =

P 2

→

C3 = −

Pβ 2K

v =−
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P β −β x e (cos βx + sin βx ) 2K

Viga infinita con cargapuntual. Deformada

v =−

P β −β x e (cos βx + sin βx ) 2K

Deformada oscilante de amplitud decreciente La viga se levanta en una serie de tramos. El primer punto está en x=3π/4β. Solución sólo válida si el terreno es bidireccional. En todo caso el error cometido si el terreno no es bidireccional es del orden del 4%, en los casos habituales en ingeniería
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Viga infinita con carga puntual.Resultados
v =− P β −β x e (cos βx + sin βx ) 2K v =− Pβ F1(βx ) 2K

d 2v P −β x M = EI 2 = e (cos βx − sin βx ) dx 4β

M=

P F3 (βx ) 4β

d 3v P Q = −EI 3 = e −βx cos(βx ) dx 2

Q=
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P F4 (βx ) 2

Funciones típicas
F1 (β x ) = e −βx (cos β x + sin β x ) F2 (β x ) = e −βx sin β x F3 (β x ) = e −βx (cos β x − sin β x ) F4 (β x ) = e −βx cos β x

Aparecen en todos los casos...