Fundamentos de acústica

Capítulo I
Ecuación de Onda Acústica

1.1 - INTRODUCCION

Se usarán los siguientes símbolos

[pic] : Posición de equilibrio de una partícula de fluido en [pic].

[pic] (1.1)

[pic] : Desplazamiento de la partícula de su posición de equilibrio.

[pic] (1.2)

[pic] : Velocidad de partícula

[pic] (1.3)

[pic] : Densidad instantánea en cualquier punto delfluido.
[pic] : Densidad de equilibrio constante del fluido.
[pic] : Condensación en cualquier punto del fluido.

[pic] (1.4)

[pic] : Presión instantánea en cualquier punto del fluido.
[pic] : Presión de equilibrio constante en el fluido.
[pic] : Presión sonora.

[pic] (1.5)

[pic] : Velocidad de fase de la onda.

[pic] : Potencial de velocidad.

[pic](1.6)

[pic] : Temperatura en grados Kelvin [pic].
[pic] : Temperatura en grados Celcius [pic]

[pic] (1.7)

Partícula de Fluido: Elemento de volumen lo suficientemente grande para contener millones de moléculas y pensar ene el fluido como un elemento contínuo, y sin embargo tan pequeño que se puede considerar que todas las variables acústicas son casi constantes en todo el elemento devolumen.

Ondas de Amplitud Pequeña: cambios de densidad serán casi despreciables comparados con su valor de equilibrio.

[pic] (1.8)

1.2 – ECUACION DE ESTADO

Ecuación de Estado de un fluido relaciona las fuerzas restauradoras internas con las deformaciones correspondientes.

Ecuación de Estado de un Gas Perfecto

[pic] (1.9)

La cantidad [pic] es una constanteque depende del gas

Ecuación de Estado Isotérmica

[pic] (1.10)

Ecuación de Estado Adiabática

[pic] (1.11)

Donde [pic] es la razón de calores específicos. Expandiendo en serie de Taylor, la presión en función de la densidad queda

[pic] (1.12)

Pero como las variaciones son pequeñas los términos de orden superior se desprecian

[pic] (1.13)
[pic](1.14)

Re ordenando

[pic] (1.15)

[pic] (1.16)

Multiplicando y dividiendo por [pic] en el segundo miembro

[pic] (1.17)

Si las fluctuaciones son pequeñas, se necesitan solamente los términos de más bajo orden y la relación que se obtiene es lineal

[pic] (1.18)

Donde [pic] es el Módulo Adiabático de Volumen

[pic] (1.19)

En términosde la presión acústica y la condensación la ecuación de estado adiabática se puede expresar como

Ecuación de Estado Linealizada

[pic] (1.20)

1.2 – ECUACION DE CONTINUIDAD

Ecuación de Continuidad: Relaciona el movimiento de un fluido con su compresión y dilatación. Relación funcional entre la velocidad de partícula [pic], y la densidad instantánea [pic].

Elemento de Volumenparalelepípedo rectangular de volumen [pic]fijo en el espacio donde viajan las partículas de fluido.

La rapidez neta con que la masa fluye a través de la superficie debe ser igual a la rapidez con que aumenta la masa dentro del volumen.

[pic] (1.21)

Rapidez Neta con que la Masa Fluye a través de la Superficie

Figura 1.1 Flujo de Masa a través de una partícula de fluidoSimilarmente para las componentes [pic] de la velocidad del fluido

[pic] (1.22)

[pic] (1.23)

Resumiendo

[pic] (1.24)

donde [pic] es el operador Divergencia

Rapidez Neta con que la Masa Aumenta en el Volumen

[pic] (1.25)

Igualamos

[pic] (1.26)

Simplificamos [pic]pasamos todo hacia un lado y obtenemos
Ecuación de Continuidad

[pic] (1.27)Si consideramos el hecho que

[pic] (1.28)

Reemplazando

[pic] (1.29)

Desarrollando

[pic] (1.30)

Como

[pic] (1.31)

[pic] (1.32)

Además [pic], entonces [pic], por lo tanto

[pic] (1.33)

Obtenemos

[pic] (1.34)

Simplificamos [pic] para llegar a

Ecuación de Continuidad Linealizada

[pic] (1.35)
1.3...