Fundamentos de algebra

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Instituto Politecnico Nacional
Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingenier´
ıa
Campus Guanajuato

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Fundamentos de Algebra
Secuencia 1: Vectores en R2
Julio de 2014
Al terminar esta secuencia, ser´s capaz de
a
• explicar las definiciones algebraicas y geom´tricas de los productos punto
e
y cruz de vectores en R2 .
• resolver problemas geom´tricos bidimensionales usando losconceptos de
e
los productos cruz y punto.

Contenido
1 Corriendo Scilab por primera vez

1

2 Vectores en R2

2
R2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4
4
5
6

4 Producto cruz de vectores en R2
4.1 Definici´n geom´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
e
4.2 Definici´nalgebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

7
7
8

5 Ejercicios

9

3 Producto punto de vectores
3.1 Definici´n geom´trica . .
o
e
3.2 Definici´n algebraica . . .
o
3.3 Proyecciones . . . . . . .

1

en
. .
. .
. .

Corriendo Scilab por primera vez

En este curso, usaremos el paquete computacional Scilab que puede descargarse
gratuitamente dehttp://www.scilab.org/. Una vez instalado, da click en el
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ıcono que diga scilab-5.5.0. Debes ver una pantalla como la mostrada en la
Figura 1, que se llama consola de Scilab. Para guardar los comandos que ir´s
a
introduciendo en Scilab, abre Scinotes escribiendo en la consola editor(), el
cual se puede observar en la Figura 2.

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Figura 1: Consola de Scilab.

2

Vectores en R2

Un vector en R2 es un par ordenado v = v1 , v2 , donde v1 y v2 son n´meros
u
reales. Distinguiremos con la notaci´n (v1 , v2 ) a un punto en el plano cartesiano.
o
Enseguida vamos a representar un vector gr´ficamente en Scilab. Como ejemplo,
a
vamos a graficar el vector 2, 3 . EnScinotes, escribimos

1
2
3
4
5
6
7
8

plot ([ -1] ,[ -1])
plot ([4] ,[4])
xgrid ()
xi =[0]
yi =[0]
xf =[2]
yf =[3]
xarrows ([ xi ; xf ] ,[ yi ; yf ] ,1 ,[2])
Las primeras tres l´
ıneas son para dibujar los ejes del plano cartesiano. Las
l´
ıneas 4 y 5 definen como punto inicial al punto (0, 0) y las l´
ıneas 6 y 7 definen
al punto (2, 3) como punto final. Despu´s de escribirel c´digo anterior en
e
o
Scinotes, lo seleccionamos y presionamos CTRL+E para correr todos los comandos
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Figura 2: El editor de Scilab, Scinotes
seleccionados. Se obtiene una gr´fica similar a la de la Figura 3.
a
El vector 2, 3 tambi´n se puede representar apartir de otro punto inicial.
e
Por ejemplo, para graficarlo a partir del punto (−1, 1), podemos usar el c´digo:
o

1
2
3
4
5
6
7
8

plot ([ -1] ,[ -1])
plot ([4] ,[4])
xgrid ()
xi =[0 , -1]
yi =[0 ,1]
xf =[2 ,1]
yf =[3 ,4]
xarrows ([ xi ; xf ] ,[ yi ; yf ] ,1 ,[2 ,5])
Obs´rvese c´mo el punto 1, 4 es el punto final. En la Figura 4, tenemos
e
o
dos representaciones del vector2, 3 . Ambas representaciones tienen la misma
magnitud, es decir, ambas flechas son del mismo tama˜o, y la misma direcci´n.
n
o
Problema 1. En tu equipo de trabajo, discutan c´mo se puede dibujar el vector
o
2, 3 a partir del punto (2, −1) y dib´jenlo. Recuerden que hay que verificar
u
que la representaci´n que obtengan conserve la magnitud y la direcci´n de las
o
o
dos representaciones dela Figura 4.
Problema 2. En equipo, hacer al menos 3 representaciones diferentes en el
plano cartesiano del vector 4, −2 y otras 3 del vector −3, 2 .

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Figura 3: El vector 2, 3 graficado en Scilab.

3

Producto punto de vectores en R2

3.1

Definici´n...