Fundamentos De Calculo

UNIVERSIDAD PANAMERICANA

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS. ESCUELA DE CIENCIAS ECONOMICAS Y EMPRESARIALES ECEE

AUTORES María De Guadalupe Arroyo Santisteban Griselda Dávila Argón Iren Castillo Saldaña Ignacio García Juárez Vinicio Pérez Fonseca José Cruz Ramos Báez

AGOSTO 2010

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I. ECUACIONES POLINOMIALES
1.
1.1.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO
DEFINICIÓN YPROPIEDADES DE LA IGUALDAD

La igualdad siguiente 2 x  3  5 x  2 se denomina ecuación, podemos decir que una ecuación es una igualdad algebraica, observemos que dicha igualdad tiene como incógnita la x por lo cual decimos que es una ecuación con una incógnita. La siguiente igualdad x  y  75 ¿es una ecuación? Sin duda sí lo es, en este caso decimos que es una ecuación con dos incógnitas. Encualquiera de las dos ecuaciones observamos que los exponentes de las variables o incógnitas es uno, por lo cual se llaman de primer grado. Si dichas variables tuvieran otro exponente entero positivo entonces, de acuerdo al mayor exponente, decimos que es el grado de la ecuación, por ejemplo:

x 2  3 x  6  0 Ecuación de segundo grado o cuadrática. 2 x 3  5 x 2  17 x  25 Ecuación de tercergrado. 5  2 x 2  3x 4  0 Ecuación de cuarto grado. etc.
Sin embargo, si el exponente es fraccionario o negativo, no se clasifican de la forma anterior, aunque se tienen ecuaciones con este tipo de exponente y al realizar ciertas operaciones algebraicas se pasan a alguna de las anteriores. De acuerdo a lo anterior definimos una ecuación de primer grado con una incógnita o variable, como “aquellaigualdad en donde se tiene una sola incógnita o variable y su mayor exponente es uno”.

1.2. COMO RESOLVER LA ECUACIÓN Para encontrar el valor de la incógnita deben aplicarse las propiedades de la igualdad: Sean a  b , donde a, b   , si c   se cumple: 1.- a  c  b  c 2.- a  c  b  c 3.- a  c  b  c

a b  , con c  0 c c n n 5.- a  b , con n  0  
4.Aplicando las propiedadespodemos “despejar” la variable y obtener la solución de la ecuación.

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1.2.1. SOLUCIONES UNICAS Ejemplo: Encontrar la solución de: x  5  7 .

x  5  7 “Pasa restando” x  75 x2
Este procedimiento lo conocemos como uso de las operaciones inversas e incluso se dice que “el 5 está sumando “pasa restando”. Por lo cual la solución a una ecuación de primer grado es simplemente despejar laincógnita o variable, mediante el uso de operaciones inversas. Ejemplo: Encontrar la solución de: 5 x  2  3( x  4) . Eliminar paréntesis: 5 x  3  3 x  12 Agrupar la variable de un solo lado de la ecuación: Reducir términos: 2 x  15 Despejar la variable: x 
15 2
5 x  3 x  12  3

Ejemplo: Encontrar la solución de: 7 x  3  9  5 x . Agrupar la variable de un solo lado de la ecuación:Reducir términos: 12 x  12 Despejar la variable: x  1
7 x  5x  9  3

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Ejemplo: Encontrar la solución de:

x 3  2 2x  1

Esta es una ecuación fraccionaria; en este caso es importante dejar una ecuación lineal sin denominadores: x  3  2 2 x  1 Eliminar paréntesis: x  3  4 x  2 Agrupar la variable de un solo lado de la ecuación: x  4 x  2  3 Reducir términos: 5 x  1Despejamos la variable: x 

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1.2.2. SOLUCIONES INFINITAS Ejemplo: Encontrar la solución de: x  3  2 x   x  3 Eliminar paréntesis: x  3  2 x  x  3 Agrupar la variable de un solo lado de la ecuación: x  2 x  x  3  3 Reducir términos: 0 x  0 De esta manera: 0  0 Por lo tanto la solución es infinita. Lo anterior significa que para cualquier valor  que le demos a x la ecuación sesatisface. 1.2.3. ECUACIONES SIN SOLUCIÓN Ejemplo: Encontrar la solución de: 2  3  x  1  x  2  x  1 Eliminar paréntesis: 2  3 x  3  x  2 x  2 Agrupar la variable de un solo lado de la ecuación: 3 x  x  2 x  2  2  3 Reducir términos: 0 x  7 Lo anterior es una contradicción e implica que la ecuación no tiene solución. Es decir, no existe un valor  que satisfaga la...