Fundamentos de Fisica

Magnitudes escalares y vectoriales
Las magnitudes que emplearemos en este curso de Física serán de dos tipos:escalares y vectoriales.
Una magnitud escalar es aquella que queda completamente determinada con un número y sus correspondientes unidades, y una magnitud vectorial es aquella que, además de un valor numérico y sus unidades (módulo) debemos especificar su dirección y sentido.
Laelección de un escalar o un vector para representar una magnitud física depende de la naturaleza de la misma; si estamos describiendo la temperatura de una habitación, la densidad de un cuerpo, su masa... necesitaremos representarlas mediante un número. Por el contrario, cuando trabajemos con magnitudes como la fuerza, la velocidad, la aceleración, el campo eléctrico, etc., emplearemos vectores.

Unvector en el espacio tridimensional está caracterizado por tres números que se denominan componentes o coordenadas del vector.

Las componentes de un vector serán en general diferentes dependiendo del sistema de coordenadas que utilicemos para expresarlas, pero siempre es posible relacionarlas de una manera sistemática.
Sistemas de coordenadas
En general a lo largo de estas páginas emplearemosel sistema de coordenadas cartesianas para especificar las componentes de un vector.
El sistema de coordenadas cartesianas está constituido por tres ejes (dos si trabajamos en dos dimensiones) perpendiculares entre sí que se cortan en un punto llamado origen.

Componentes cartesianas

En tres dimensiones:

Las componentes cartesianas de un vector son las proyecciones de dicho vector sobrecada uno de los ejes. Como se observa en la figura anterior están relacionadas con el ángulo que forma el vector con el eje x y con su longitud (módulo):


Por tanto, el vector a puede expresarse como:

Y en ese caso está expresado en coordenadas polares (esféricas en tres dimensiones).
Vector unitario
Un vector unitario es aquél que tiene módulo 1. Para hallar un vector unitario a partir decualquier vector, hay que dividir este último por su módulo.

AB mide 3, por lo que:

Y su módulo:

Un vector unitario puede emplearse para definir el sentido positivo de cualquier eje. Así, para los ejes cartesianos x,y,z se emplean los vectores i, j y k:
Vectores unitarios para los ejes cartesianos:


La orientación de estos tres ejes cartesianos puede cambiarse, siempre y cuando suorientación relativa sea la misma.

Del mismo modo pueden definirse un vector tangente y un vector perpendicular a una curva en cada punto, o un vector unitario en las direcciones radial y angular:




Con ayuda de estos vectores unitarios puede expresarse un vector cualquiera en función de sus vectores constituyentes.
Vectores constituyentes de un vector
Una vez introducidos los vectoresunitarios i, j, k que definen los sentidos positivos de los ejes cartesianos, podemos expresar cualquier vector como la suma de los siguientes vectores:

Componentes cartesianas

En tres dimensiones:

Como se observa en la figura anterior:


Y de forma análoga en tres dimensiones:

Que es la forma que más comúnmente emplearemos para expresar una magnitud vectorial.
Supongamos quetenemos dos vectores u y v expresados a partir de sus vectores constituyentes, en dos dimensiones para simplificar:




Suma de vectores
Se define el vector suma de ambos (w) a otro vector cuyas componentes se calculan sumando las componentes de cada uno de ellos.




Se puede apreciar según el dibujo que gráficamente esto equivale a colocar un vector a continuación del otro y dibujar elvector desde el origen del primero al final del segundo.


Producto escalar (·)
El producto escalar de dos vectores u y v que forman un ángulo φ se define como:



De la expresión anterior se observa que el producto escalar de dos vectores no es un vector, es un número (un escalar). Además el producto escalar de dos vectores perpendiculares es nulo. Se deducen entonces los siguientes...