Fundamentos de las matemáticas


Fundamentos de las Matemáticas.

1. Breve biografía de David Hilbert.
David Hilbert  nació el 23 de enero de 1862 en Königsberg, Prusia (actual Kaliningrado, Rusia); y murió el 14 de febrero de 1943, Gotinga, Alemania. Fue un matemático alemán, reconocido como uno de los más influyentes del siglo XIX y principios del XX. Estableció su reputación como gran matemático y científicoinventando o desarrollando un gran abanico de ideas, como la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert, uno de los fundamentos del análisis funcional.
El texto Grundlagen der Geometrie (Fundamentos de la geometría), que Hilbert publicó en 1899, sustituye los tradicionales axiomas de Euclides por sistema formal de 21 axiomas. Evitan las debilidadesidentificadas en los de Euclides, cuya obra clásica Elementos seguía siendo usada como libro de texto en aquel momento.
El enfoque de Hilbert marcó el cambio al sistema axiomático moderno. Los axiomas no se toman como verdades evidentes. La geometría puede tratar de cosas, sobre las que tenemos intuiciones poderosas, pero no es necesario asignar un significado explícito a los conceptos indefinidos. Comodice Hilbert, los elementos tales como el punto, la recta, el plano y otros, se pueden sustituir con mesas, sillas, jarras de cerveza y otros objetos. Lo que se discute y se desarrolla son sus relaciones definidas.
Hilbert comienza enumerando los conceptos sin definición: punto, recta, plano, incidencia (una relación entre puntos y planos), estar entre, congruencia de pares de puntos ycongruencia de ángulos. Los axiomas unifican la geometría plana y la sólida de Euclides en un único sistema.
Hilbert y sus estudiantes proporcionaron partes significativas de la infraestructura matemática necesaria para la mecánica cuántica y la relatividad general. Fue uno de los fundadores de la teoría de la demostración, la lógica matemática y la distinción entre matemática y metamatemática. Adoptó ydefendió vivamente la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Cantor.
En 1920 propuso de forma explícita un proyecto de investigación (en metamatemática, como se llamó entonces) que acabó siendo conocido como programa de Hilbert. Quería que la matemática fuese formulada sobre unas bases sólidas y completamente lógicas. Creía que, en principio, esto podía lograrse, mostrando que:

1.toda la matemática se sigue de un sistema finito de axiomas escogidos correctamente; y
2. que tal sistema axiomático se puede probar consistente.
Parecía tener razones técnicas y filosóficas para formular esta propuesta. Esto afirmaba su disgusto por lo que se había dado a conocer como ignorabimus, que aún era un problema activo en su tiempo dentro del pensamiento alemán, y que podía rastrearse enesa formulación hasta Emil du Bois-Reymond.
El programa sigue siendo reconocible en la filosofía de la matemática más popular, donde se le llama normalmente formalismo. Por ejemplo, el grupo Bourbaki adoptó una versión selectiva y diluida como adecuada para los requisitos de sus proyectos gemelos de (a) escribir trabajos fundamentales enciclopédicos, y (b) dar soporte al sistema axiomático comoherramienta de investigación. Este enfoque ha tenido éxito e influencia en relación con el trabajo de Hilbert en el álgebra y el análisis funcional, pero no ha conseguido cuajar igual con sus intereses en física y lógica.
Un ejemplo famoso de su liderazgo mundial en la matemática es su presentación en 1900 de un conjunto de problemas que establecieron el curso de gran parte de la investigaciónmatemática del siglo XX.
En la pugna por demostrar correctamente algunos de los errores cometidos por Einstein, en la teoría general de la relatividad, David Hilbert se adelantó a las correcciones de Einstein, sin embargo nunca quiso otorgarse el mérito.
Hilbert vivió para ver a los nazis purgar a la mayoría de miembros facultativos sobresalientes de la Universidad de Göttingen, en 1933. [1]....